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Das Gauß-Verfahren

Ein Höhenprofil und ein LGS mit Parameter: Das Gauß-Verfahren liefert nicht nur Zahlen, sondern auch die Frage, ob es überhaupt eine Lösung gibt.

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Das Höhenprofil

AFB I–II

Ein Wanderweg führt über einen Hügel. Gemessen wurden die Höhen A(0 | 300), B(2 | 380) und C(6 | 300) (x in km, y in m über NN). Das Profil soll durch f(x) = ax² + bx + c beschrieben werden.

  1. Stelle das LGS auf.
  2. Löse das LGS mit dem Gauß-Verfahren ohne Rechner.
  3. Bestimme den höchsten Punkt des Weges.
  4. Erläutere, wie man das Ergebnis mit dem GTR kontrollieren kann.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Jeder Punkt liefert eine Gleichung f(x₀) = y₀.
Hinweis zu Aufgabe b)
c ist sofort bekannt; dann ein 2×2-System.
Hinweis zu Aufgabe c)
Scheitel der Parabel.
Hinweis zu Aufgabe d)
Menü Gleichung, SIMUL.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

I: c = 300 · II: 4a + 2b + c = 380 · III: 36a + 6b + c = 300.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Mit c = 300: II′: 4a + 2b = 80, III′: 36a + 6b = 0. III′ − 3 · II′: 24a = −240 → a = −10; b = (80 + 40) : 2 = 60. f(x) = −10x² + 60x + 300.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

f′(x) = −20x + 60 = 0 → x = 3; f(3) = −90 + 180 + 300 = 390. Höchster Punkt (3 | 390): nach 3 km auf 390 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

fx-CG50: MENU › Gleichung › F1 (SIMUL) › F2 (3 Unbekannte), Koeffizienten der drei Gleichungen eintragen, F1 (SOLVE) → a = −10, b = 60, c = 300.

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Ein LGS mit Parametern

AFB II–III

Gegeben ist das LGS I: x + y + z = 1 · II: x + 2y + 3z = 2 · III: 2x + 3y + t · z = s mit t, s ∈ ℝ.

  1. Zeige, dass die Stufenform auf die Gleichung (t − 4) · z = s − 3 führt.
  2. Löse das LGS für t = 5 und s = 4.
  3. Untersuche die Lösbarkeit in Abhängigkeit von t und s.
  4. Gib für t = 4 und s = 3 die Lösungsmenge mit einem Parameter an.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
II − I und III − 2 · I, dann die beiden neuen Gleichungen voneinander abziehen.
Hinweis zu Aufgabe b)
z aus der letzten Zeile, dann rückwärts.
Hinweis zu Aufgabe c)
Fälle: t ≠ 4; t = 4 und s = 3; t = 4 und s ≠ 3.
Hinweis zu Aufgabe d)
Setze z = r.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

II − I: y + 2z = 1; III − 2 · I: y + (t − 2)z = s − 2. Subtraktion: (t − 4)z = s − 3.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

z = 1; y = 1 − 2 = −1; x = 1 − (−1) − 1 = 1. Lösung (1 | −1 | 1).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

t ≠ 4: genau eine Lösung. t = 4, s = 3: 0 = 0, unendlich viele Lösungen. t = 4, s ≠ 3: 0 = s − 3 ≠ 0, keine Lösung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

z = r, y = 1 − 2r, x = 1 − y − z = r. L = {(r | 1 − 2r | r) mit r ∈ ℝ}.