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Das Gauß-Verfahren

Drei Gleichungen, drei Unbekannte — und ein Rezept, das so zuverlässig arbeitet, dass es jeder Rechner ausführen kann.

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Ziel: die Stufenform

Das Gauß-Verfahren formt ein LGS so lange um, bis in jeder Gleichung eine Unbekannte weniger vorkommt. Dabei ändert sich die Lösung nicht.

  • Erlaubt:eine Gleichung mit einer Zahl \(\neq 0\) multiplizieren; ein Vielfaches einer Gleichung zu einer anderen addieren oder von ihr subtrahieren; zwei Gleichungen tauschen.
  • Spalte 1:Mit Gleichung I das \(a\) aus II und III entfernen.
  • Spalte 2:Mit der neuen Gleichung II das \(b\) aus III entfernen.
  • Algorithmus:Die Schritte laufen bei jedem LGS gleich ab — deshalb lässt sich das Verfahren programmieren, und GTR und CAS lösen damit auch große Systeme.
Merke

Stufenform: \(\begin{array}{rrrcl}\ast\,a&+\ast\,b&+\ast\,c&=&\ast\\ &\ast\,b&+\ast\,c&=&\ast\\ &&\ast\,c&=&\ast\end{array}\)

Starte mit ▶ oder gehe mit „Schritt“ (bzw. Pfeiltaste rechts im Bild) einzeln vor. Orange ist die Gleichung, die sich ändert, blau die Gleichung, mit der gerechnet wird.

Gauß Schritt für Schritt

Halte fest: Jeder Schritt macht einen Eintrag unter der Diagonalen zu 0. Aus der untersten Gleichung liest man die letzte Unbekannte ab und setzt dann rückwärts ein.

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Rückwärts einsetzen

Aus der Stufenform ergibt sich zuerst \(c\), dann \(b\), zuletzt \(a\). Eine Probe in den Ausgangsgleichungen sichert das Ergebnis.

Rechnung:
\(\begin{array}{lrrrcr}\text{I}&a&+\,b&+\,c&=&2\\ \text{II}&2a&+\,3b&+\,c&=&1\\ \text{III}&-a&+\,b&+\,2c&=&-3\end{array}\)
| Start

Gleichung I bleibt stehen und räumt Spalte 1 auf.

\(\begin{array}{lrrrcr}\text{I}&a&+\,b&+\,c&=&2\\ \text{II}&&b&-\,c&=&-3\\ \text{III}&&2b&+\,3c&=&-1\end{array}\)
| II − 2·I, III + I

\(a\) ist aus II und III verschwunden.

\(\begin{array}{lrrrcr}\text{I}&a&+\,b&+\,c&=&2\\ \text{II}&&b&-\,c&=&-3\\ \text{III}&&&5c&=&5\end{array}\)
| III − 2·II

Stufenform erreicht.

\(c=1\)
| III : 5

Die unterste Stufe enthält nur noch \(c\).

\(b-1=-3\;\Rightarrow\; b=-2\)
| \(c\) in II

Eine Stufe höher.

\(a-2+1=2\;\Rightarrow\; a=3\)
| \(b, c\) in I

Lösung \((a\mid b\mid c)=(3\mid -2\mid 1)\).

  • Probe II:\(2\cdot 3+3\cdot(-2)+1=1\) ✓
  • Probe III:\(-3+(-2)+2\cdot 1=-3\) ✓
  • Keine Lösung:Eine Zeile wird zu \(0=5\) — Widerspruch, kein Funktionsterm erfüllt alle Bedingungen.
  • Unendlich viele:Eine Zeile wird zu \(0=0\) — eine Bedingung war überflüssig, eine Unbekannte bleibt frei (Parameter).
  • GTR:MENU › Gleichung › F1 (SIMUL) › F2 (3 Unbekannte), Koeffizienten eintragen, F1 (SOLVE); Sonderfälle: „No Solution“ bzw. „Infinitely Many Solutions“.
  • CAS:menu › 3: Algebra › 7: Gleichungssystem lösen › 2: System linearer Gleichungen lösen … — oder direkt linSolve; freie Unbekannte erscheinen als Parameter c1.
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Allgemeine Hinweise

Die ganze Gleichung umformen

Wer eine Gleichung mit 4 multipliziert, multipliziert auch die rechte Seite. Die Zahl hinter dem Gleichheitszeichen wird am häufigsten vergessen.

Brüche vermeiden

Statt \(\text{III}-\tfrac14\cdot\text{II}\) lieber \(4\cdot\text{III}-\text{II}\) rechnen — die Lösung bleibt dieselbe, die Zahlen bleiben ganz.

Oben bleibt stehen

Gleichung I wird nach Spalte 1 nicht mehr verändert, II nicht mehr nach Spalte 2 — sonst kommt eine schon entfernte Unbekannte zurück.

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