Kegel, Kugel, Glas: Volumen aus Kreisscheiben — erst quadrieren, dann integrieren.
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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Die Volumenformel
AFB I
Der Graph von f rotiert über [a; b] um die x-Achse. Gib alle richtigen Aussagen an.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Quadriert wird vor dem Integrieren: Jede Scheibe hat die Grundfläche π · f(x)². Durch das Quadrat ist der Integrand nie negativ.
Frage: Welche Fläche hat eine dünne Scheibe an der Stelle x?Warum? Das Volumen ist die Summe aller Scheiben.
Hilfe: Kreisfläche πr² mit r = |f(x)|.
A2
Ein Kegel
AFB I
Der Graph von f(x) = x rotiert über [0; 3] um die x-Achse. Berechne das Volumen (zwei Nachkommastellen).
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
V = π ∫03 x² dx = π · 9 ≈ 28,27. Probe mit der Kegelformel: ⅓ π · 3² · 3 = 9π.
Ansatz: f(x)² = x².Warum? Das ist der Integrand der Volumenformel.
Hilfe: ∫03 x² dx = 9.
A3
Memory: erst quadrieren
AFB I
Ordne jeder Randfunktion f den Integranden f(x)² zu.
Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
Wurzeln verschwinden beim Quadrieren — ein Grund, warum Rotationsvolumina oft leichter sind als erwartet. (x + 1)² nicht als x² + 1 schreiben!
Ansatz: Quadriere jede Karte — binomische Formel beachten.Warum? f(x)² ist der Integrand.
Hilfe: (eˣ)² = e2x.
A4
Rechenkette: Parabel um die Achse
AFB II
Der Graph von f(x) = x² rotiert über [0; 2] um die x-Achse. Bestimme Schritt für Schritt (drei Nachkommastellen).
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
∫02 f(x)² dx
Volumen VVE
Volumen des umschließenden Zylinders (r = 4, h = 2)VE
Anteil V : Zylindervolumen
f(x)² = x⁴, ∫02 x⁴ dx = 32/5. Der Körper füllt nur ein Fünftel des Zylinders, weil er an der Spitze sehr dünn ist.
Ansatz: (x²)² = x⁴.Warum? Nicht x² integrieren.
Hilfe: Zylinder: πr²h = π · 16 · 2.
A5
Welcher Körper entsteht?
AFB II
Ordne jedem Graphen den Körper zu, der bei Rotation um die x-Achse entsteht.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Zylinder
2Kegel
3Kugel
Eine Gerade durch einen Punkt auf der x-Achse erzeugt einen Kegel, eine Parallele einen Zylinder, ein Halbkreis y = √(r² − x²) eine Kugel.
Ansatz: Welche Figur beschreibt der Graph: Strecke parallel zur Achse, schräge Strecke, Halbkreis?Warum? Die Figur bestimmt den Körper.
Hilfe: x² + y² = r² ist ein Kreis.
A6
Rotationsvolumen in Schritten
AFB II
Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Randfunktion f und Intervall [a; b] festlegen
2f(x)² bilden und vereinfachen
3Stammfunktion von f(x)² bilden
4Grenzen einsetzen
5mit π multiplizieren und mit VE angeben
Häufigster Reihenfolgefehler: erst integrieren, dann quadrieren. Das ergibt ein falsches Volumen.
Frage: Was kommt zuerst — Quadrieren oder Integrieren?Warum? Das Volumen summiert Kreisflächen.
Hilfe: π kann man am Ende multiplizieren.
A7
Rotationsvolumina
AFB IIMix
Verbinde jeden Graphen und jedes Intervall mit dem Volumen.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Bei 1/x ergibt das Quadrat 1/x² — mit der Potenzregel, nicht mit ln: π[−1/x]₁² = π/2.
Ansatz: Quadrieren, integrieren, mal π.Warum? Rotationsformel.
Hilfe: ∫01 e2x dx = ½(e² − 1).
A8
Fehlersuche im Heft
AFB III
Sechs Zeilen aus einer Klausur zu Rotationskörpern. Überprüfe sie und markiere die drei falschen.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Alle drei Fehler haben dieselbe Wurzel: Das Quadrat wird an der falschen Stelle gebildet.
Strategie: Prüfe in jeder Zeile, ob f(x)² richtig gebildet und vor dem Integrieren quadriert wurde.Warum? Hier passieren die Fehler.
Hilfe: Hohlkörper: f² − g².
A9
Trickaufgabe — die Wurzel verschwindet
AFB IIITrick
Der Graph von f(x) = √(9 − x²) rotiert über [−3; 3] um die x-Achse. Ermittle das Volumen (zwei Nachkommastellen).
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
f(x)² = 9 − x²: V = π[9x − ⅓x³]₋₃³ = π(18 + 18) = 36π ≈ 113,10. Das ist die Kugelformel ⁴⁄₃πr³ mit r = 3. Die Falle: vor der Wurzel zurückschrecken — sie fällt beim Quadrieren weg.
Ansatz: Quadriere f zuerst.Warum? (√u)² = u.
Hilfe: Welcher Körper entsteht aus einem Halbkreis?
A10
Füllhöhe im Glas
AFB III
Die Innenwand eines liegend gedachten Glases entsteht durch Rotation von f(x) = 0,5x + 2 (in cm) um die x-Achse, x ist die Höhe ab dem Boden. Ermittle die Füllhöhe h für 250 ml.
Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
010
V(h) = π ∫₀ʰ (0,5x + 2)² dx = ⅔π((0,5h + 2)³ − 8) = 250 ⇒ (0,5h + 2)³ ≈ 127,4 ⇒ h ≈ 6,06 cm. Mit dem GTR: V(h) − 250 = 0 numerisch lösen.
Ansatz: Volumen bis zur Höhe h als Term aufstellen und gleich 250 setzen.Warum? 1 ml = 1 cm³.
Hilfe: Stammfunktion von (0,5x + 2)² ist ⅔ (0,5x + 2)³.
