Eine Vase aus dem 3D-Drucker
AFB I–IIDie Außenwand einer liegend gezeichneten Vase entsteht durch Rotation des Graphen von \(f(x)=0{,}25x^2-x+3\) über \([0;4]\) um die \(x\)-Achse (1 LE = 1 dm).
- Geben Sie den Durchmesser der Vase an den Enden und an der schmalsten Stelle an.
- Zeigen Sie \(f(x)^2=0{,}0625x^4-0{,}5x^3+2{,}5x^2-6x+9\).
- Berechnen Sie das Volumen der Vase in Litern.
- Vergleichen Sie mit dem Zylinder aus der größten Scheibe (Radius 3 dm, Länge 4 dm).
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(f(0)=f(4)=3\): Durchmesser 6 dm. Scheitel bei \(x=2\): \(f(2)=2\), Durchmesser 4 dm.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\((0{,}25x^2)^2+x^2+9+2\cdot0{,}25x^2\cdot(-x)+2\cdot0{,}25x^2\cdot3+2\cdot(-x)\cdot3=0{,}0625x^4-0{,}5x^3+2{,}5x^2-6x+9\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\int_0^4f^2\,\mathrm dx=12{,}8-32+\tfrac{160}3-48+36\approx22{,}13\); \(V\approx22{,}13\pi\approx69{,}5\,\mathrm L\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Zylinder: \(36\pi\approx113{,}1\,\mathrm L\). Die Vase hat etwa 61 % davon — die Taille spart viel Volumen.
Kugel und Schale
AFB II–IIIDer Halbkreis \(f(x)=\sqrt{r^2-x^2}\) über \([-r;r]\) erzeugt bei Rotation um die \(x\)-Achse eine Kugel. Eine Schale ist eine Halbkugel mit Innenradius \(r=10\,\mathrm{cm}\).
- Leiten Sie die Formel \(V=\tfrac43\pi r^3\) her.
- Begründen Sie: Steht in der Schale Wasser der Höhe \(h\), gilt \(V(h)=\pi h^2\big(r-\tfrac h3\big)\).
- Bestimmen Sie das Wasservolumen für \(h=4\,\mathrm{cm}\).
- Beurteilen Sie die Aussage: „Bei halber Füllhöhe ist die Schale halb voll.“
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(V=\pi\int_{-r}^r(r^2-x^2)\,\mathrm dx=\pi\big[r^2x-\tfrac13x^3\big]_{-r}^r=\pi\big(\tfrac23r^3+\tfrac23r^3\big)=\tfrac43\pi r^3\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(\pi\big[r^2x-\tfrac13x^3\big]_{r-h}^r\) ausrechnen und vereinfachen: \(\pi\big(r^2h-\tfrac13(r^3-(r-h)^3)\big)=\pi\big(rh^2-\tfrac13h^3\big)=\pi h^2\big(r-\tfrac h3\big)\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\pi\cdot16\cdot\big(10-\tfrac43\big)\approx435{,}6\,\mathrm{cm^3}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Halbkugel: \(\tfrac23\pi\cdot1000\approx2094\,\mathrm{cm^3}\). \(V(5)=\pi\cdot25\cdot\tfrac{25}3\approx654{,}5\,\mathrm{cm^3}\) — nur etwa 31 %. Die Aussage ist falsch, weil die Schale unten schmal ist.