MINT lernen

Volumen von Rotationskörpern

Wie viel passt in ein Glas, dessen Wand ein Funktionsgraph ist?

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Vom Graphen zum Drehkörper

Wie in 1.1.3 wird ein schwieriges Maß in einfache Stücke zerlegt — diesmal nicht in Rechtecke, sondern in Scheiben.

  • Rotation:die Fläche zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(x\)-Achse über \([a;b]\) dreht sich einmal um die \(x\)-Achse.
  • Querschnitt:an jeder Stelle \(x\) ein Kreis mit Radius \(|f(x)|\) und Flächeninhalt \(\pi\cdot f(x)^2\).
  • Scheiben:\([a;b]\) in \(n\) Streifen der Breite \(\Delta x=\tfrac{b-a}{n}\) teilen — jeder Streifen wird zu einem flachen Zylinder.
  • Scheibenvolumen:\(\pi\cdot f(x_i)^2\cdot\Delta x\) — Grundfläche mal Höhe, \(x_i\) am linken Rand der Scheibe.
  • Grenzwert:die Summe aller Scheiben ist eine Produktsumme, für \(n\to\infty\) wird sie zum Integral.

Drehe die Fläche mit dem Regler „Drehwinkel“ oder mit ▶ einmal um die \(x\)-Achse. Zerlege den Körper dann mit dem Regler „Scheiben“ und beobachte, wie sich die Scheibensumme dem Volumen nähert.

Scheiben um die x-Achse

Halte fest: Jede Scheibe ist ein Zylinder mit dem Volumen \(\pi\cdot f(x_i)^2\cdot\Delta x\) — ihre Summe wird für immer dünnere Scheiben zum Integral \(\pi\displaystyle\int_a^b f(x)^2\,\mathrm dx\).

Herleitung:

\(V\approx\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\pi\cdot f(x_i)^2\cdot\Delta x\)
Scheiben
\(n\) Zylinder mit Radius \(f(x_i)\) und Höhe \(\Delta x\) addieren.
\(V=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\pi\cdot f(x_i)^2\cdot\Delta x\)
\(n\to\infty\)
Immer dünnere Scheiben: der Fehler an den schrägen Rändern verschwindet.
\(V=\pi\displaystyle\int_a^b f(x)^2\,\mathrm dx\)
Ergebnis
Der Grenzwert der Produktsumme ist das Integral über \(\pi f(x)^2\) (1.1.4); \(\pi\) ist ein konstanter Faktor.
Merke

Rotationsvolumen: \(V=\pi\displaystyle\int_a^b \big(f(x)\big)^2\,\mathrm dx\)

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Volumen berechnen

Gerechnet wird mit dem Hauptsatz aus 1.2.5 — nur mit \(f(x)^2\) statt \(f(x)\).

  • Schritt 1:\(f(x)^2\) bilden und vereinfachen — Klammern ausmultiplizieren.
  • Schritt 2:Stammfunktion bilden, Grenzen einsetzen, mit \(\pi\) multiplizieren.
  • Probe:\(f(x)=r\) liefert den Zylinder \(\pi r^2h\), \(f(x)=\tfrac rh\,x\) den Kegel \(\tfrac13\pi r^2h\).
  • Hohlkörper:dreht sich die Fläche zwischen \(f\) und \(g\) mit \(f(x)\ge g(x)\ge0\), fehlt innen der Körper von \(g\).

Rechenweg:

\(V=\pi\displaystyle\int_0^4\big(\sqrt x\big)^2\,\mathrm dx=\pi\int_0^4 x\,\mathrm dx\)
quadrieren
Paraboloid aus dem Applet: \(f(x)=\sqrt x\) auf \([0;4]\).
\(=\pi\Big[\tfrac12x^2\Big]_0^4\)
Stammfunktion
Potenzregel: \(x\) hat die Stammfunktion \(\tfrac12x^2\).
\(=\pi\cdot\big(8-0\big)\)
einsetzen
Obere minus untere Grenze.
\(=8\pi\approx25{,}13\)
Ergebnis
Volumeneinheiten — bei Längen in cm also etwa \(25{,}13\ \mathrm{cm^3}\).
Merke

Hohlkörper: \(V=\pi\displaystyle\int_a^b\Big(\big(f(x)\big)^2-\big(g(x)\big)^2\Big)\,\mathrm dx\)  für \(f(x)\ge g(x)\ge0\)

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Allgemeine Hinweise

Erst quadrieren

\((x+1)^2=x^2+2x+1\), nicht \(x^2+1\). Und keine Stammfunktion von \(f\) quadrieren — integriert wird \(f(x)^2\).

f² − g², nicht (f − g)²

Beim Hohlkörper wird der innere Körper abgezogen. \(\big(f-g\big)^2\) wäre ein ganz anderer, zu kleiner Körper.

Rechner

fx-CG50: RUN-MAT, OPTN → F4 (CALC) → F4 (∫dx) und \(\pi\cdot f(x)^2\) eintragen. TI-Nspire CAS: menu → Analysis → Integral, dann \(\pi\cdot(\sqrt x)^2\) mit Grenzen 0 und 4 liefert \(8\pi\).

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