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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Uneigentliche Integrale
AFB IGib alle richtigen Aussagen an.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Die Fläche unter 1/x ist trotz f → 0 unendlich, die unter e−x endlich. ∞ ist keine Zahl — man bildet einen Grenzwert.
Frage: Was ist das „Uneigentliche“ an diesen Integralen?Warum? Eine Grenze ist unendlich oder f ist dort nicht definiert.
Hilfe: Denke an 1/x und e−x.
A2
Nach rechts ins Unendliche
AFB IBerechne ∫1∞ 1/x³ dx.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
∫1b x⁻³ dx = [−1/(2x²)]₁ᵇ = ½ − 1/(2b²) → ½ für b → ∞.
Ansatz: Erst bis b integrieren.Warum? Dann ist das Integral ein Term in b.
Hilfe: x⁻³ hat die Stammfunktion −½x⁻².
A3
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IFünf Behauptungen. Entscheide.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Für Potenzen gilt eine Faustregel: nach rechts konvergent für r > 1, an der 0 für r < 1 — 1/x liegt genau auf der Grenze und divergiert in beide Richtungen.
Ansatz: Berechne probeweise ∫1b x^(−r) dx.Warum? Daraus liest man die Regel ab.
Hilfe: b^(1 − r) → 0, wenn 1 − r < 0.
A4
Rechenkette: e-Funktion
AFB IIBetrachtet wird f(x) = e⁻ˣ. Bestimme Schritt für Schritt (drei Nachkommastellen).
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- ∫01 e⁻ˣ dx
- ∫05 e⁻ˣ dx
- ∫0∞ e⁻ˣ dx
- ∫2∞ e⁻ˣ dx
∫0b e⁻ˣ dx = 1 − e⁻ᵇ → 1. Schon bei b = 5 fehlt weniger als 1 % — der Rest der unendlich langen Fläche ist winzig.
Ansatz: Stammfunktion −e⁻ˣ.Warum? Innere Ableitung −1.
Hilfe: ∫2∞ e⁻ˣ dx = e⁻².
A5
Konvergent oder divergent?
AFB IIOrdne jedes uneigentliche Integral ein.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1konvergent (Intervall unbeschränkt)
2konvergent (Polstelle)
3divergent
x^(−0,9) konvergiert an der Polstelle, divergiert aber nach rechts — dieselbe Funktion, verschiedene Richtungen.
Ansatz: Schreibe als Potenz x^(−r) und nutze die Faustregel.Warum? Rechts: r > 1, an der 0: r < 1.
Hilfe: 1/∛x = x^(−1/3).
A6
Uneigentliches Integral in Schritten
AFB IIBringe die Schritte zur Berechnung von ∫a∞ f(x) dx in die richtige Reihenfolge.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1unendliche Grenze durch eine Variable b ersetzen
2Stammfunktion bilden
3Integral bis b als Term in b berechnen
4Grenzwert für b → ∞ bilden
5entscheiden: konvergent mit Wert oder divergent
Der Fehler, der am meisten Punkte kostet: ∞ direkt „einsetzen“, statt einen Grenzwert zu bilden.
Frage: Was steht vor dem Grenzwert?Warum? Man braucht einen Term in b.
Hilfe: Die Entscheidung kommt zuletzt.
A7
Werte uneigentlicher Integrale
AFB II MixVerbinde jedes Integral mit seinem Wert.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Für ∫0∞ e−kx dx gilt allgemein 1/k — je langsamer der Abfall, desto größer die Fläche.
Ansatz: Stammfunktion, bis b bzw. ab a integrieren, Grenzwert.Warum? Definition.
Hilfe: 1/∛x = x^(−1/3), Stammfunktion 1,5 x^(2/3).
A8
Fehlersuche im Heft
AFB IIISechs Zeilen aus einer Hausaufgabe. Überprüfe sie und markiere die drei falschen.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Der gefährlichste Fehler ist Zeile 4: Das Einsetzen über eine Polstelle hinweg liefert eine Zahl, obwohl das Integral gar nicht existiert.
Strategie: Prüfe in jeder Zeile, ob ein Grenzwert gebildet wurde und ob eine Polstelle übersehen wurde.Warum? Genau dort passieren die Fehler.
Hilfe: −1/x ist bei 0 nicht definiert.
A9
Trickaufgabe — nach links
AFB III TrickErmittle ∫−∞0 eˣ dx.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
∫a0 eˣ dx = 1 − eᵃ → 1 für a → −∞. Die Falle: Nur rechte unendliche Grenzen für möglich halten — auch nach links lässt man eine Grenze laufen.
Ansatz: Ersetze −∞ durch a und lasse a → −∞ laufen.Warum? Dieselbe Idee wie nach rechts.
Hilfe: eᵃ → 0 für a → −∞.
A10
Schätz-Regler: Wirkstoff aus dem Pflaster
AFB IIIEin Pflaster gibt einen Wirkstoff mit der Rate r(t) = 12 · e−0,3t (mg/h) ab. Schätze die insgesamt abgegebene Menge, wenn man das Pflaster nie abnimmt.
Ansatz: ∫0∞ c · e−kt dt = c/k.Warum? 1 − e−kb → 1.
Hilfe: 12 : 0,3.