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Abituraufgaben: Uneigentliche Integrale

Eine unbegrenzte Fläche, ein unendlich langer Körper und ein Leck, das versiegt.

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Die Fläche unter 8/x³

AFB I–II

Gegeben ist \(f(x)=\dfrac8{x^3}\) für \(x\ge1\).

Graph von f
xy123456712345678f
f(x) = 8/x³ für x ≥ 1
  1. Berechnen Sie \(\int_1^bf(x)\,\mathrm dx\) für \(b>1\).
  2. Ermitteln Sie den Inhalt der unbegrenzten Fläche unter dem Graphen für \(x\ge1\).
  3. Bestimmen Sie \(b\) so, dass die Fläche über \([1;b]\) 99 % der Gesamtfläche beträgt.
  4. Zeigen Sie, dass der unbegrenzte Körper, der bei Rotation des Graphen um die \(x\)-Achse entsteht, ein endliches Volumen hat, und geben Sie es an.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Stammfunktion \(-\tfrac4{x^2}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Grenzwert \(b\to\infty\).
Hinweis zu Aufgabe c)
\(4-\tfrac4{b^2}=3{,}96\).
Hinweis zu Aufgabe d)
\(f^2=\tfrac{64}{x^6}\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\big[-\tfrac4{x^2}\big]_1^b=4-\tfrac4{b^2}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(4-\tfrac4{b^2}\to4\): Die Fläche hat den Inhalt 4 FE.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\tfrac4{b^2}=0{,}04\Rightarrow b^2=100\Rightarrow b=10\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(\pi\int_1^b64x^{-6}\,\mathrm dx=\pi\big(\tfrac{64}5-\tfrac{64}{5b^5}\big)\to\tfrac{64\pi}5\approx40{,}2\,\mathrm{VE}\).

2

Leck im Tank

AFB II–III

Aus einem beschädigten Tank tritt Öl aus. Die Austrittsrate wird durch \(r(t)=200\,e^{-0{,}05t}\) beschrieben (\(r\) in L/h, \(t\) in h).

  1. Berechnen Sie die in den ersten 24 Stunden ausgetretene Menge.
  2. Ermitteln Sie die Menge, die nach dem Modell insgesamt austritt.
  3. Bestimmen Sie, wann 90 % dieser Menge ausgetreten sind.
  4. Nehmen Sie Stellung zu einem alternativen Modell \(r_2(t)=\tfrac{200}{t+1}\) im Vergleich zu \(r\).

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Stammfunktion \(-4000e^{-0{,}05t}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
\(\int_0^\infty\).
Hinweis zu Aufgabe c)
\(1-e^{-0{,}05t}=0{,}9\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Gesamtmenge im Modell \(r_2\)? Plausibilität bei einem Tank mit begrenztem Inhalt.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(4000(1-e^{-1{,}2})\approx2795\,\mathrm L\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(4000(1-e^{-0{,}05b})\to4000\,\mathrm L\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(e^{-0{,}05t}=0{,}1\Rightarrow t=\tfrac{\ln10}{0{,}05}\approx46\,\mathrm h\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(\int_0^b\tfrac{200}{t+1}\,\mathrm dt=200\ln(b+1)\to\infty\): Nach \(r_2\) träte unbegrenzt viel Öl aus — für einen Tank mit endlichem Inhalt unmöglich. Das exponentielle Modell liefert eine endliche Gesamtmenge und ist daher plausibler; ob 4000 L passen, muss man mit dem Tankinhalt vergleichen.