Uneigentliche Integrale

Eine Fläche, die bis ins Unendliche reicht, lässt sich nicht in endlich viele Streifen zerlegen — aber man kann ihr beim Wachsen zusehen.

• Problem:das Intervall \([1;\infty[\) hat kein rechtes Ende — \(\infty\) ist keine Zahl, die man einsetzen kann.
• Idee:erst bis zu einer festen Grenze \(b\) integrieren, dann \(b\) immer größer werden lassen.
• Konvergent:nähert sich \(\int_1^b f(x)\,\mathrm dx\) für \(b\to\infty\) einer Zahl, hat die unendlich lange Fläche diesen endlichen Inhalt.
• Divergent:wächst das Integral über alle Grenzen, existiert das uneigentliche Integral nicht.
• Überraschung:\(\tfrac1{x^2}\) konvergiert, \(\tfrac1x\) divergiert — obwohl beide Graphen gegen 0 gehen.

Ziehe die Grenze \(b\) nach rechts oder lass sie mit ▶ davonlaufen — unten siehst du beide Integrale über \(\lg b\). Wechsle dann zu „An der Polstelle“: Dort wandert die untere Grenze \(a\) auf die 0 zu.

Halte fest: Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwert von gewöhnlichen Integralen — ob er existiert, entscheidet, wie schnell der Graph gegen 0 geht, nicht nur dass er es tut.

Herleitung:

Auch ein Graph, der an einer Grenze ins Unendliche steigt, kann eine endliche Fläche einschließen.

• Problem:\(f(x)=\tfrac1{\sqrt x}\) ist bei 0 nicht definiert und wächst dort über alle Grenzen.
• Idee:mit einer Grenze \(a>0\) integrieren und \(a\) von rechts gegen 0 laufen lassen.
• Konvergent:\(\displaystyle\int_a^1 x^{-\frac12}\,\mathrm dx=\big[2\sqrt x\big]_a^1=2-2\sqrt a\to2\).
• Divergent:\(\displaystyle\int_a^1\tfrac1x\,\mathrm dx=-\ln a\to\infty\) — \(\tfrac1x\) divergiert in beide Richtungen.
• Bestand:klingt eine Zuflussrate schnell genug ab, wächst der Bestand nur bis zu einem Grenzwert: \(\int_0^{\infty}50\,e^{-0{,}5t}\,\mathrm dt=100\).