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Übung AFB II

Rate lesen, Streifen zählen, Nullstellen finden: zehn Aufgaben, in denen du mehrere Schritte der Integralrechnung verknüpfst.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn mehrschrittige Aufgaben, bunt gemischt aus allen Unterkapiteln: Graphen auswerten, Streifensummen, Stammfunktionen mit Bedingung, Flächen mit Vorzeichenwechsel und ein Sachkontext mit GTR/CAS. Die gestuften Tipps helfen, wenn du nicht weiterkommst.

A1
Zisterne nach dem Gewitter
AFB II

Eine Zisterne enthält zu Beginn \(100\) L. Der Graph zeigt die Zuflussrate \(r\) (negativ: Wasser wird abgepumpt). Werten Sie den Graphen aus: Wann ist die Wassermenge am größten, wie viel Wasser ist dann in der Zisterne, und wie viel sind es nach \(10\) Minuten?

min
L
L
Ansatz: Solange \(r>0\), steigt \(B\). Der Vorzeichenwechsel \(+\to-\) liegt bei \(t=6\). Flächen stückweise als Rechteck und Dreieck berechnen.
Rechenweg: \(B(4)=100+20\cdot4=180\). Dreieck von 4 bis 6: \(\tfrac12\cdot2\cdot20=20\). Von 6 bis 8: Dreieck \(-20\), von 8 bis 10: Rechteck \(-40\).
Lösung: \(t_{\max}=6\) min, \(B(6)=200\) L, \(B(10)=140\) L
Vollständige Lösung
Bis \(t=6\) ist \(r\ge0\), danach negativ — also Maximum bei \(t=6\,\mathrm{min}\). \(B(6)=100+80+20=200\,\mathrm L\). Danach: \(B(10)=200-20-40=140\,\mathrm L\). Der Bestand bei \(t=10\) ist trotz Abpumpen größer als am Anfang, weil die blaue Fläche (\(100\)) größer ist als die rote (\(60\)).
246810−20−101020trr
Rate \(r(t)\) in L/min, \(t\) in min
A2
ln mit negativen Grenzen
AFB II

Bestimmen Sie \(\displaystyle\int_{-e}^{-1}\Big(\tfrac1x+2x\Big)\,\mathrm dx\) (drei Nachkommastellen).

Betrag: Für negative \(x\) ist \(\ln|x|\) Stammfunktion von \(\tfrac1x\).
\(F(x)=\ln|x|+x^2\). \(F(-1)=0+1\), \(F(-e)=1+e^2\).
Lösung anzeigen
\(\big[\ln|x|+x^2\big]_{-e}^{-1}=(0+1)-(1+e^2)=-e^2\) ≈ −7,389
A3
Mit Integralregeln rechnen
AFB II

Für eine Funktion \(f\) ist bekannt: \(\displaystyle\int_0^3 f(x)\,\mathrm dx=5\) und \(\displaystyle\int_0^7 f(x)\,\mathrm dx=-2\). Leiten Sie daraus \(\displaystyle\int_3^7 f(x)\,\mathrm dx\) und \(\displaystyle\int_7^3 f(x)\,\mathrm dx\) her.

Ansatz: Intervalladditivität: \(\int_0^3+\int_3^7=\int_0^7\). Vertauschen der Grenzen ändert das Vorzeichen.
Rechenweg: \(5+\int_3^7 f=-2\).
Lösung: \(-7\) und \(7\)
Vollständige Lösung
\(\int_3^7 f=\int_0^7 f-\int_0^3 f=-2-5=-7\). Vertauschte Grenzen: \(\int_7^3 f=-\int_3^7 f=7\). Deutung: Zwischen 3 und 7 überwiegt die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse.
A4
Stammfunktion durch einen Punkt
AFB II

Gegeben ist \(f(x)=3x^2-4x+2\). Stellen Sie die Stammfunktion \(F\) von \(f\) auf, deren Graph durch \(P(1\,|\,5)\) verläuft. Geben Sie die Konstante \(C\) und den Wert \(F(2)\) an.

Ansatz: Alle Stammfunktionen: \(F(x)=x^3-2x^2+2x+C\). Die Punktprobe \(F(1)=5\) legt \(C\) fest.
Rechenweg: \(F(1)=1-2+2+C=1+C=5\).
Lösung: \(C=4\), \(F(2)=8\)
Vollständige Lösung
\(F(x)=x^3-2x^2+2x+C\); \(F(1)=1+C=5\Rightarrow C=4\). Also \(F(x)=x^3-2x^2+2x+4\) und \(F(2)=8-8+4+4=8\). Probe: \(F'(x)=3x^2-4x+2=f(x)\) ✓
A5
Hohlkörper aus zwei Graphen
AFB II

Die Fläche zwischen \(f(x)=2\) und \(g(x)=\sqrt x\) über \([0;4]\) rotiert um die \(x\)-Achse. Bestätigen Sie durch Rechnung, dass das Volumen \(8\pi\) beträgt, und geben Sie den Wert mit zwei Nachkommastellen an.

VE
Hohlkörper: \(V=\pi\int_a^b\big(f(x)^2-g(x)^2\big)\,\mathrm dx\) für \(f\ge g\ge0\).
\(f^2-g^2=4-x\). Nicht \((2-\sqrt x)^2\)!
Lösung anzeigen
\(V=\pi\int_0^4(4-x)\,\mathrm dx=\pi\big[4x-\tfrac12x^2\big]_0^4=8\pi\) ≈ 25,13 VE
A6
Trickaufgabe — Integral null, Fläche nicht
AFB II

Vergleichen Sie \(\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin x\,\mathrm dx\) mit dem Inhalt der Fläche, die der Graph von \(\sin\) auf \([0;2\pi]\) mit der \(x\)-Achse einschließt.

FE
Ansatz: Stammfunktion von \(\sin\) ist \(-\cos\). Für die Fläche an der Nullstelle \(\pi\) aufteilen.
Rechenweg: \(\big[-\cos x\big]_0^{2\pi}=-1-(-1)\); \(\big[-\cos x\big]_0^{\pi}=2\).
Lösung: Integral \(0\), Fläche \(4\)
Vollständige Lösung
\(\big[-\cos x\big]_0^{2\pi}=-1+1=0\): Die blaue und die rote Fläche heben sich auf. Fläche: \(\big[-\cos x\big]_0^{\pi}=2\) und \(\big|\big[-\cos x\big]_\pi^{2\pi}\big|=|-2|=2\), also \(A=4\,\mathrm{FE}\). Der Trick: Man braucht kaum zu rechnen — ein Integral von \(0\) heißt nicht „keine Fläche“.
π2π1−1xyf
\(f(x)=\sin x\) auf \([0;2\pi]\)
A7
Fläche an der Polstelle
AFB II

Der Graph von \(f(x)=\tfrac1{\sqrt x}\) wächst bei \(x\to0\) über alle Grenzen. Untersuchen Sie, ob die Fläche zwischen Graph und \(x\)-Achse über \(]0;4]\) endlich ist, und geben Sie ggf. ihren Inhalt an.

FE
Polstelle: \(\int_0^4 f=\lim_{a\to0^+}\int_a^4 f\).
\(x^{-\frac12}\) hat die Stammfunktion \(2\sqrt x\).
Lösung anzeigen
\(\int_a^4 x^{-\frac12}\,\mathrm dx=4-2\sqrt a\to4\) für \(a\to0^+\): endlich, A = 4 FE
A8
Parabel und Gerade
AFB II

Die Graphen von \(f(x)=-x^2+4\) und \(g(x)=x+2\) schließen eine Fläche ein. Berechnen Sie die Schnittstellen und den Flächeninhalt.

FE
Ansatz: Gleichsetzen \(f(x)=g(x)\), dann \(A=\int(f-g)\) zwischen den Schnittstellen („oben minus unten“).
Rechenweg: \(-x^2+4=x+2\iff x^2+x-2=0\iff(x+2)(x-1)=0\). \(d(x)=-x^2-x+2\), \(D(x)=-\tfrac13x^3-\tfrac12x^2+2x\).
Lösung: \(x_1=-2\), \(x_2=1\), \(A=4{,}5\)
Vollständige Lösung
Schnittstellen \(-2\) und \(1\). Auf \([-2;1]\) liegt \(f\) oben. \(A=\Big[-\tfrac13x^3-\tfrac12x^2+2x\Big]_{-2}^{1}=\tfrac76-\big(-\tfrac{10}{3}\big)=\tfrac{27}{6}=4{,}5\,\mathrm{FE}\).
−3−2−112−11234xyfg
Parabel \(f\) und Gerade \(g\)
A9
Regen­rückhalte­becken (GTR/CAS)
AFB II

Nach einem Starkregen fließt Wasser mit der Rate \(r(t)=120\,t\cdot e^{-0{,}5t}\) (\(t\) in h, \(r\) in \(\mathrm{m^3/h}\)) in ein Becken, das zu Beginn \(200\,\mathrm{m^3}\) enthält. a) Ermitteln Sie mit dem GTR, wie viel Wasser in den ersten 6 Stunden zufließt. b) Nach welcher Zeit sind insgesamt \(300\,\mathrm{m^3}\) zugeflossen? (je zwei Nachkommastellen)

m³
h
Ansatz: a) Zugeflossene Menge \(=\displaystyle\int_0^6 r(t)\,\mathrm dt\) — eine Stammfunktion brauchst du nicht, der Rechner integriert numerisch. b) Gesucht ist die obere Grenze \(s\) mit \(\int_0^s r(t)\,\mathrm dt=300\).
Rechenweg: fx-CG50: RUN-MAT, OPTN → F4 (CALC) → F4 (∫dx), Term, Grenzen 0 und 6. Oder GRAPH: Y1 zeichnen, SHIFT F5 (G-Solv) → F6 (▷) → F3 (∫dx) → F1 (∫dx), Grenzen eintippen. b) TI-Nspire CAS: solve(∫(120·t·e^(−0.5·t),t,0,s)=300,s) (Integral: menu → 4: Analysis → 3: Integral).
Lösung: a) \(\approx384{,}41\,\mathrm{m^3}\) b) \(t\approx4{,}24\,\mathrm h\)
Vollständige Lösung
a) \(\int_0^6 120\,t\,e^{-0{,}5t}\,\mathrm dt\approx384{,}41\,\mathrm{m^3}\); danach enthält das Becken etwa \(584{,}41\,\mathrm{m^3}\). Einheit: \(\mathrm{m^3/h}\cdot\mathrm h=\mathrm{m^3}\). b) \(\int_0^s r(t)\,\mathrm dt=300\) liefert \(s\approx4{,}24\): Nach gut 4 Stunden und 14 Minuten sind \(300\,\mathrm{m^3}\) zugeflossen. (Am GTR alternativ: das Integral für einige Grenzen berechnen und die Grenze eingrenzen.)
246820406080100trr
Zufluss \(r(t)\) in \(\mathrm{m^3/h}\), \(t\) in h
A10
Mix — Integralfunktion und Nullstellen
AFB II

Gegeben ist die Integralfunktion \(I_1(x)=\displaystyle\int_1^x (2t-4)\,\mathrm dt\). Weisen Sie mit dem Hauptsatz, dass \(I_1(x)=x^2-4x+3\) gilt. Geben Sie \(I_1(4)\) und die von \(1\) verschiedene Nullstelle von \(I_1\) an.

Ansatz: \(I_1(x)=\big[t^2-4t\big]_1^x\). Eine Integralfunktion ist an ihrer unteren Grenze immer null.
Rechenweg: \(I_1(x)=(x^2-4x)-(1-4)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\).
Lösung: \(I_1(4)=3\), Nullstelle \(x=3\)
Vollständige Lösung
\(I_1(x)=\big[t^2-4t\big]_1^x=x^2-4x+3\) ✓. \(I_1(4)=16-16+3=3\). \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\), also zweite Nullstelle \(x=3\). Deutung: Von 1 bis 2 liegt \(2t-4\) unter der Achse, von 2 bis 3 darüber — die Flächen heben sich genau auf. Da \(I_1'=2x-4\), hat \(I_1\) bei \(x=2\) sein Minimum.