Typische Fehler

So wird oft gerechnet: Fläche zwischen \( f(x)=x-1 \) und \( x \)-Achse auf \( [0;3] \): „\( \int_0^3(x-1)\,\mathrm dx=1{,}5 \), also \( A=1{,}5 \)“.

Richtig ist: Nullstelle \( x=1 \) beachten: \( A=\big|\int_0^1 f\big|+\int_1^3 f=0{,}5+2=2{,}5 \).

Erst Nullstellen im Intervall suchen, dann Teilintegrale als Beträge addieren.

So wird oft gerechnet: „Stammfunktion von \( x^3 \) ist \( \tfrac13x^4 \)“ — Exponent erhöht, aber durch den alten Exponenten geteilt.

Richtig ist: \( F(x)=\tfrac14x^4 \): Exponent um 1 erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen.

\( x^n\to\tfrac{1}{n+1}x^{n+1} \) — und immer mit \( F'=f \) prüfen.

So wird oft gerechnet: \( f(x)=3x^2+5 \): „\( F(x)=x^3+5 \)“.

Richtig ist: \( F(x)=x^3+5x \), denn \( (5x)'=5 \). Die Zahl 5 abgeleitet ergäbe \( 0 \).

Konstante \( k \) hat die Stammfunktion \( kx \).

So wird oft gerechnet: „\( \int_0^\pi\sin x\,\mathrm dx=\big[\cos x\big]_0^\pi=-1-1=-2 \)“ — negativ, obwohl der Bogen über der Achse liegt.

Richtig ist: \( \big[-\cos x\big]_0^\pi=1-(-1)=2 \).

\( \sin\to-\cos \), \( \cos\to\sin \); Vorzeichen per Probe kontrollieren.

So wird oft gerechnet: „\( \int e^{3x}\,\mathrm dx=3e^{3x} \)“ oder „\( \int\cos(2x)\,\mathrm dx=2\sin(2x) \)“.

Richtig ist: \( \tfrac13e^{3x} \) bzw. \( \tfrac12\sin(2x) \): Beim Integrieren durch die innere Ableitung teilen.

\( g(ax+b)\;\to\;\tfrac1a\,G(ax+b) \).

So wird oft gerechnet: „\( \int_1^2x^2\,\mathrm dx=F(1)-F(2)=\tfrac13-\tfrac83=-\tfrac73 \)“.

Richtig ist: \( F(2)-F(1)=\tfrac83-\tfrac13=\tfrac73 \): obere Grenze minus untere Grenze.

\( \big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a) \) — „oben minus unten“. Vorzeichen am Graphen prüfen.

So wird oft gerechnet: \( \int_{-1}^2(2x-1)\,\mathrm dx=\big[x^2-x\big]_{-1}^2=2-(-1^2+1)=2 \).

Richtig ist: \( F(-1)=(-1)^2-(-1)=2 \), also \( 2-2=0 \). Und: \( F(a) \) als Ganzes in Klammern abziehen.

\( F(b)-\big(F(a)\big) \) — jede eingesetzte Zahl in Klammern.

So wird oft gerechnet: Fläche zwischen \( f(x)=x^3 \) und \( g(x)=x \): „\( \int_{-1}^1(x^3-x)\,\mathrm dx=0 \), also keine Fläche“.

Richtig ist: Schnittstellen \( -1,\,0,\,1 \): \( A=\big|\int_{-1}^0(x^3-x)\big|+\big|\int_0^1(x^3-x)\big|=\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12 \).

Alle Schnittstellen bestimmen und abschnittsweise mit Beträgen rechnen.

So wird oft gerechnet: Tank mit \( B(0)=200\,\mathrm L \), Zufluss \( 30\,\mathrm{L/min} \) für 10 min: „\( B(10)=\int_0^{10}30\,\mathrm dt=300\,\mathrm L \)“.

Richtig ist: \( B(10)=B(0)+\int_0^{10}r(t)\,\mathrm dt=200+300=500\,\mathrm L \).

Bestand = Anfangsbestand + Integral der Rate.

So wird oft gerechnet: „Die Zuflussrate ist bei \( t=3 \) maximal, also ist dort am meisten Wasser im Becken.“

Richtig ist: Bis \( t=6 \) ist \( r>0 \), der Bestand wächst weiter; Maximum von \( B \) bei \( t=6 \) (VZW von \( r \) von \( + \) nach \( - \)).

Extremstellen von \( B \) = Vorzeichenwechsel von \( r \), nicht Extremstellen von \( r \).

So wird oft gerechnet: \( f(x)=4-x^2 \) auf \( [0;2] \), linke Stützstellen: „das ist \( U_4=6{,}25 \)“.

Richtig ist: Bei fallendem \( f \) liefern linke Stützstellen \( O_4=6{,}25 \), rechte \( U_4=4{,}25 \).

Nicht links/rechts merken, sondern: Untersumme = kleinster Wert im Streifen.

So wird oft gerechnet: GTR im Modus „Deg“: „\( \int_0^\pi\sin x\,\mathrm dx\approx0{,}0861 \)“.

Richtig ist: Im Bogenmaß (Rad) ergibt sich \( 2 \). fx-CG50: SHIFT MENU (SET UP) → Angle → Rad; TI-Nspire: Dokumenteinstellungen → Winkel: Bogenmaß.

Vor jeder Rechnung mit sin/cos den Winkelmodus prüfen — und das Ergebnis grob abschätzen.

So wird oft gerechnet: „\( \int_{-3}^{-1}\tfrac1x\,\mathrm dx=\ln(-1)-\ln(-3) \) — nicht definiert.“

Richtig ist: Stammfunktion ist \( \ln|x| \): \( \ln1-\ln3=-\ln3\approx-1{,}099 \). Negativ, weil der Graph dort unter der \( x \)-Achse liegt.

Bei \( \tfrac1x \) immer \( \ln|x| \) schreiben — und prüfen, dass 0 nicht zwischen den Grenzen liegt.

So wird oft gerechnet: „\( V=\pi\int_0^4\big(2-\sqrt x\big)^2\,\mathrm dx \)“ für die Fläche zwischen \( f(x)=2 \) und \( g(x)=\sqrt x \).

Richtig ist: Außenkörper minus Innenkörper: \( V=\pi\int_0^4\big(4-x\big)\,\mathrm dx=8\pi\approx25{,}13 \).

Beim Hohlkörper erst beide Funktionen einzeln quadrieren, dann subtrahieren: \( f^2-g^2 \).

So wird oft gerechnet: „\( \tfrac1x \) geht für \( x\to\infty \) gegen 0, also ist \( \int_1^\infty\tfrac1x\,\mathrm dx \) endlich.“

Richtig ist: Erst bis \( b \) integrieren, dann den Grenzwert bilden: \( \ln b\to\infty \) — das uneigentliche Integral existiert nicht.

Nie \( \infty \) einsetzen oder raten: \( \int_a^b \) berechnen, dann \( \lim_{b\to\infty} \).