Summandenweise integrieren und durch die innere Ableitung teilen — mit Probe.
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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Lineare innere Funktion
AFB I
Verbinde jede Funktion mit ihrer Stammfunktion.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Immer durch die innere Ableitung teilen. Bei sin(5 − x) ist sie −1: −(−cos(5 − x)) = cos(5 − x).
Ansatz: Äußere Stammfunktion bilden, dann durch die innere Ableitung a teilen.Warum? Beim Ableiten kommt der Faktor a wieder hinzu.
Hilfe: Innere Funktion 2x + 1 hat die Ableitung 2; ⁴ und 2 ergeben den Nenner 8.
A2
Summen- und Faktorregel
AFB I
Gib alle Stammfunktionen von f(x) = 6x² − 4x + 5 an.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Jeder Summand wird einzeln integriert, Faktoren bleiben stehen: 6 · ⅓x³ = 2x³. Die Konstante 5 wird zu 5x.
Ansatz: Summand für Summand die Potenzregel anwenden.Warum? Summenregel und Faktorregel erlauben das.
Hilfe: 6x² → 6 · ⅓x³.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I
Beschreibe die Regeln — ein Wort bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Nach der darf man eine Summe Summand für Summand integrieren. Nach der bleibt ein konstanter Faktor stehen. Bei f(x) = g(ax + b) hilft die lineare : Man bildet die Stammfunktion von g und muss durch die a .
„multiplizieren“ bleibt übrig: Beim Ableiten wird mit a multipliziert, beim Integrieren durch a geteilt.
Idee: Integrieren macht das Ableiten rückgängig — auch den Faktor der Kettenregel.Warum? Deshalb wird aus Multiplizieren Teilen.
Hilfe: (½e2x)′ = e2x.
A4
Stammfunktion durch den Ursprung
AFB II
F ist die Stammfunktion von f(x) = e0,5x mit F(0) = 0. Berechne F(2) auf drei Nachkommastellen.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
F(x) = 2e0,5x + C mit 2 + C = 0, also F(x) = 2e0,5x − 2 und F(2) = 2e − 2 ≈ 3,437.
Ansatz: Durch 0,5 teilen heißt mit 2 multiplizieren.Warum? Die innere Ableitung ist 0,5.
Hilfe: e⁰ = 1, also C = −2.
A5
Rechenkette: Klammer hoch drei
AFB II
Gesucht ist eine Stammfunktion F von f(x) = 4(2x − 3)³ ohne Konstante. Bestimme Schritt für Schritt.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
Ansatz: Potenzregel für die Klammer, dann durch die innere Ableitung teilen.Warum? Lineare Kettenregel.
Hilfe: 4 : 4 : 2 = 0,5.
A6
Reichen die Regeln?
AFB II
Ordne ein, welche Regel man zum Integrieren braucht.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Summen- und Faktorregel genügen
2lineare Kettenregel nötig
3mit diesen Regeln nicht integrierbar
Die lineare Kettenregel funktioniert nur, wenn die innere Funktion linear ist. ex² hat keine elementare Stammfunktion; für x · sin x bräuchte man die partielle Integration.
Ansatz: Schau auf die innere Funktion: Ist sie ax + b?Warum? Nur dann gilt „durch a teilen“.
Hilfe: Ein Produkt zweier x-Terme ist kein Fall für die Faktorregel.
A7
Stammfunktionswerte ordnen
AFB II
Zu jeder Funktion gehört die Stammfunktion F mit F(0) = 0. Vergleiche F(1) und ordne vom kleinsten zum größten Wert.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1cos(2x)
21/(x + 1)
33x²
4(x + 1)²
5e2x
F(1): ½ sin 2 ≈ 0,455; ln 2 ≈ 0,693; 1; (8 − 1)/3 ≈ 2,33; ½(e² − 1) ≈ 3,19. Bei (x + 1)² muss man F(0) = ⅓ abziehen.
Sechs Stammfunktionen aus einem Test. Überprüfe sie und markiere die drei falschen.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zwei der drei Fehler sind dieselben: Die innere Ableitung wurde vergessen oder multipliziert statt geteilt. Die Probe durch Ableiten deckt das sofort auf.
Strategie: Leite jede rechte Seite mit der Kettenregel ab.Warum? Ein fehlender oder falscher Faktor fällt sofort auf.
Hilfe: (e−x)′ = −e−x.
A9
Trickaufgabe — erst vereinfachen
AFB IIITrick
F ist die Stammfunktion von f(x) = sin²x + cos²x mit F(0) = 0. Ermittle F(π) auf drei Nachkommastellen.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
sin²x + cos²x = 1 für alle x (Satz des Pythagoras am Einheitskreis). Also F(x) = x und F(π) = π. Die Falle: sin² und cos² einzeln integrieren wollen.
Ansatz: Kennst du einen Satz über sin²x + cos²x?Warum? Ein einfacherer Integrand spart die ganze Rechnung.
Hilfe: Einheitskreis: sin²x + cos²x = 1.
A10
Gestaucht, gestreckt, verschoben
AFB III
Für eine Funktion f gilt ∫02 f(x) dx = 4. Bestimme ohne Stammfunktion den Wert der neuen Integrale.
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = 1, 2 = 2, 3 = 4, 4 = 8, 5 = 16. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = 15 = 16
∫01 f(2x) dx
∫02 2 · f(x) dx
∫−11 f(x + 1) dx
∫00,5 f(4x) dx
∫08 f(x/4) dx
Wird der Graph in x-Richtung mit dem Faktor k gestaucht, schrumpft die Fläche auf 1/k — genau der Faktor der linearen Kettenregel. Verschieben ändert nichts.
Ansatz: Stelle dir vor, was mit dem Graphen passiert: Stauchung, Streckung oder Verschiebung.Warum? Die Fläche ändert sich nur mit der Breite oder Höhe.
Hilfe: f(2x) auf [0; 1] ist f auf [0; 2], halb so breit.
