Wirkstoff im Blut
AFB I–IINach einer Injektion wird ein Wirkstoff abgebaut. Die Änderungsrate der Wirkstoffmenge ist \(r(t)=-12\,e^{-0{,}4t}\) (in mg/h, \(t\) in h). Zu Beginn sind 30 mg im Blut.
- Zeigen Sie, dass \(M(t)=30\,e^{-0{,}4t}\) die Wirkstoffmenge beschreibt.
- Berechnen Sie die Menge nach 5 Stunden.
- Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem nur noch die Hälfte vorhanden ist.
- Begründen Sie, dass im Modell nie der ganze Wirkstoff abgebaut ist, und ermitteln Sie den insgesamt abgebauten Anteil nach 10 Stunden.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(M'(t)=30\cdot(-0{,}4)e^{-0{,}4t}=-12e^{-0{,}4t}=r(t)\), \(M(0)=30\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(M(5)=30e^{-2}\approx4{,}06\,\mathrm{mg}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(-0{,}4t=\ln0{,}5\Rightarrow t=\tfrac{\ln2}{0{,}4}\approx1{,}73\,\mathrm h\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(M(t)>0\) für alle \(t\). Nach 10 h: \(M(10)=30e^{-4}\approx0{,}55\,\mathrm{mg}\), abgebaut sind etwa 29,45 mg, also rund 98 %.
Gezeiten im Hafen
AFB II–IIIDie Änderungsrate des Wasserstands in einem Hafen wird durch \(r(t)=0{,}5\pi\sin\big(\tfrac\pi6t\big)\) modelliert (\(r\) in m/h, \(t\) in Stunden nach Niedrigwasser). Bei Niedrigwasser beträgt der Wasserstand 1 m.
- Leiten Sie her, dass \(W(t)=4-3\cos\big(\tfrac\pi6t\big)\) den Wasserstand beschreibt.
- Geben Sie den höchsten Wasserstand und seinen Zeitpunkt an.
- Ermitteln Sie, wie lange ein Schiff mit 5,5 m Tiefgangbedarf pro Zyklus einlaufen kann.
- Beurteilen Sie das Modell, wenn zwischen zwei Hochwassern in Wirklichkeit etwa 12 h 25 min liegen.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Stammfunktion: \(0{,}5\pi\cdot\tfrac6\pi\cdot\big(-\cos(\tfrac\pi6t)\big)+C=-3\cos(\tfrac\pi6t)+C\); \(W(0)=-3+C=1\Rightarrow C=4\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Hochwasser bei \(t=6\) mit \(W(6)=4+3=7\,\mathrm m\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\cos(\tfrac\pi6t)\le-0{,}5\Rightarrow\tfrac\pi6t\in[\tfrac{2\pi}3;\tfrac{4\pi}3]\Rightarrow t\in[4;8]\). Das Zeitfenster dauert 4 Stunden.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Modellperiode ist 12 h. Pro Zyklus verschiebt sich das reale Hochwasser um 25 min — nach einem Tag schon um fast eine Stunde. Für einen Zyklus ist das Modell brauchbar, für Planungen über Tage muss die Periode angepasst werden (\(\tfrac{2\pi}{12{,}42}\) statt \(\tfrac\pi6\)).