Summen- und Faktorregel
Ableiten geht summandenweise und lässt Faktoren stehen — rückwärts gilt dasselbe.
- Summenregel:\(f=g+h\ \Rightarrow\ F=G+H\) — jeden Summanden einzeln integrieren.
- Faktorregel:\(f=k\cdot g\ \Rightarrow\ F=k\cdot G\) — der Faktor bleibt stehen.
- Konstante:\(f(x)=k\ \Rightarrow\ F(x)=k\,x\).
- Probe:\((G+H)'=g+h\) und \((k\cdot G)'=k\cdot g\) — genau die Ableitungsregeln.
Tippe zu jedem Summanden von \(f\) einen Baustein an — er rastet in \(F\) ein und wird sofort abgeleitet. Ein Tipp auf einen eingerasteten Baustein nimmt ihn wieder heraus.
Bausteine für \(F\)
Halte fest: Jeder Summand wird für sich integriert — Exponent um \(1\) erhöhen, durch den neuen Exponenten teilen, Faktor stehen lassen; die Konstante \(k\) wird zu \(k\,x\).
Summe und Faktor: \(f=k\cdot g+h\ \Rightarrow\ F=k\cdot G+H\)
Lineare innere Funktion
Steht statt \(x\) ein Term \(ax+b\) im Argument, liefert die Kettenregel beim Ableiten den Faktor \(a\) — beim Integrieren muss er wieder weg.
Herleitung:
- \(e^{ax+b}\):\(F(x)=\tfrac1a\,e^{ax+b}\).
- \(\sin(ax+b)\):\(F(x)=-\tfrac1a\cos(ax+b)\).
- \(\cos(ax+b)\):\(F(x)=\tfrac1a\sin(ax+b)\).
- Beispiel:\(f(x)=e^{3x-1}\Rightarrow F(x)=\tfrac13e^{3x-1}\); Probe: \(\tfrac13\cdot e^{3x-1}\cdot3=e^{3x-1}\).
- Grenze:nur für lineare innere Funktionen — \(e^{x^2}\) lässt sich so nicht integrieren.
Lineare innere Funktion: \(f(x)=g(ax+b)\ \Rightarrow\ F(x)=\dfrac1a\,G(ax+b)\quad(a\ne0)\)
Allgemeine Hinweise
Produkte erst ausmultiplizieren
Für \(x\,(x+2)\) gibt es keine „Produktregel rückwärts“. Ausmultipliziert \(x^2+2x\) reicht die Potenzregel: \(\tfrac13x^3+x^2\).
Durch a teilen, nicht mal a
Zu \(e^{4x}\) gehört \(\tfrac14e^{4x}\). Wer \(4e^{4x}\) schreibt, hat abgeleitet statt integriert.
Probe mit der Kettenregel
\(F(x)=\tfrac12\sin(2x+1)\) ableiten: \(\tfrac12\cos(2x+1)\cdot2=\cos(2x+1)\) — kommt \(f\) heraus, stimmt der Vorfaktor.