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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Memory: Grundfunktionen
AFB IFinde zu jeder Funktion ihre Stammfunktion.
Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
Potenzregel: Exponent um 1 erhöhen, durch den neuen Exponenten teilen — auch bei x⁻³ (neuer Exponent −2) und √x = x^(1/2).
Ansatz: Schreibe Wurzeln und Brüche als Potenzen.Warum? Dann greift die Potenzregel.
Hilfe: Sinus → minus Kosinus, Kosinus → Sinus.
A2
Stammfunktionen von 1/x³
AFB IGib alle Stammfunktionen von f(x) = 1/x³ an.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
−3x⁻⁴ ist die Ableitung von x⁻³. 1/(4x⁴) entsteht, wenn man den Exponenten falsch „erhöht“ (von −3 auf −4 ist erniedrigt).
Ansatz: 1/x³ = x⁻³. Exponent + 1 = −2.Warum? Die Potenzregel gilt für jedes n ≠ −1.
Hilfe: Durch −2 teilen: x⁻² : (−2).
A3
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IFünf Behauptungen über Stammfunktionen der Grundfunktionen. Entscheide.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Zwei Klassiker: das Minus beim Sinus und die Lücke der Potenzregel bei n = −1.
Probe: Leite jede angebliche Stammfunktion ab.Warum? So entlarvst du Vorzeichenfehler sofort.
Hilfe: (cos x)′ = −sin x.
A4
Gebrochener Exponent
AFB IIF ist die Stammfunktion von f(x) = x^(2/3) mit F(0) = 0. Berechne F(8).
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
F(x) = ⅗ x^(5/3). 8^(5/3) = (∛8)⁵ = 32, also F(8) = ⅗ · 32 = 19,2.
Ansatz: Neuer Exponent 2/3 + 1 = 5/3.Warum? Potenzregel.
Hilfe: 8^(5/3) = (∛8)⁵.
A5
Welcher Exponent?
AFB IIVor dem Integrieren schreibt man um. Ordne jede Funktion nach dem Exponenten r in x^r ein.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1r > 1
20 < r < 1
3r < 0
x · √x = x^(3/2), x² · ∛x = x^(7/3), x : √x = x^(1/2), 1/√x = x^(−1/2). Beim Multiplizieren addieren sich die Exponenten, beim Dividieren subtrahieren sie sich.
Ansatz: Wurzel als Bruch-Exponent, Bruch als negativer Exponent.Warum? Dann lassen sich die Exponenten vergleichen.
Hilfe: ∛(x²) = x^(2/3).
A6
Rechenkette: Stammfunktion von 1/√x
AFB IIGesucht ist die Stammfunktion F von f(x) = 1/√x mit F(0) = 0. Bestimme Schritt für Schritt.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- Exponent r in f(x) = x^r
- neuer Exponent r + 1
- Vorfaktor 1 : (r + 1)
- F(9)
F(x) = 2 · x^(1/2) = 2√x, also F(9) = 6. Probe: (2√x)′ = 1/√x.
Ansatz: 1/√x = x^(−1/2).Warum? Die Potenzregel braucht eine Potenz.
Hilfe: Durch ½ teilen heißt mit 2 multiplizieren.
A7
Potenzregel in Schritten
AFB IIBringe die Schritte der Potenzregel in eine sinnvolle Reihenfolge.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Wurzeln und Brüche als Potenz x^r schreiben
2Prüfen, dass r ≠ −1 ist
3Exponent um 1 erhöhen
4Durch den neuen Exponenten teilen
5Probe durch Ableiten
Die Prüfung r ≠ −1 gehört an den Anfang: Für 1/x gibt es eine eigene Regel (1.2.3).
Frage: Womit fängst du an, wenn f(x) = 1/∛x gegeben ist?Warum? Ohne Potenzschreibweise lässt sich nichts erhöhen.
Hilfe: Die Probe steht immer am Ende.
A8
Fehlersuche im Heft
AFB III MixSechs Stammfunktionen aus einer Klausur. Überprüfe sie und markiere die drei falschen.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zweimal wurde abgeleitet statt integriert. Merkhilfe: Beim Integrieren wird der Exponent größer.
Strategie: Leite jede rechte Seite ab.Warum? Nur die Probe ist sicher.
Hilfe: Wird der Exponent kleiner, wurde abgeleitet.
A9
Trickaufgabe — Start bei null
AFB III TrickF ist die Stammfunktion von f(x) = sin x mit F(0) = 0. Ermittle F(π).
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
F(x) = −cos x + C mit −1 + C = 0, also C = 1 und F(x) = 1 − cos x. F(π) = 1 − (−1) = 2. Die Falle: F(x) = −cos x nehmen — das erfüllt F(0) = 0 nicht.
Ansatz: F(x) = −cos x + C, dann F(0) = 0 auswerten.Warum? cos 0 ist nicht 0.
Hilfe: cos 0 = 1, cos π = −1.
A10
Durch den Punkt (0 | 1)
AFB IIIVerbinde jede Funktion f mit ihrer Stammfunktion, deren Graph durch (0 | 1) geht.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
eˣ braucht keine Konstante, weil e⁰ = 1 schon passt. Bei sin x muss man 2 addieren, weil −cos 0 = −1 ist.
Ansatz: Prüfe bei jeder rechten Karte zwei Dinge: F′ = f und F(0) = 1.Warum? Beide Bedingungen müssen erfüllt sein.
Hilfe: 2 − cos 0 = 1.