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Stammfunktion mit Zusatzbedingung
AFB I–IIGegeben ist \(f(x)=e^x+x^2-\cos x\).
- Geben Sie eine Stammfunktion von \(f\) an.
- Bestimmen Sie die Stammfunktion \(G\) mit \(G(0)=2\).
- Weisen Sie durch Ableiten nach, dass \(G\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.
- Berechnen Sie \(G(1)\) auf drei Nachkommastellen.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Summandenweise: \(e^x\), Potenzregel, Kosinus.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(F(0)=1\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Summandenweise ableiten.
Hinweis zu Aufgabe d)
Rechner im Bogenmaß.
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(F(x)=e^x+\tfrac13x^3-\sin x\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(G(x)=e^x+\tfrac13x^3-\sin x+1\), denn \(F(0)=1+0-0=1\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(G'(x)=e^x+x^2-\cos x=f(x)\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(G(1)=e+\tfrac13-\sin1+1\approx2{,}718+0{,}333-0{,}841+1=3{,}210\).
2
Stammfunktionen von 1/x²
AFB II–IIIGegeben ist \(f(x)=\dfrac1{x^2}\) für \(x>0\).
Graph von f
- Ermitteln Sie alle Stammfunktionen von \(f\).
- Ermitteln Sie die Stammfunktion, deren Graph die \(x\)-Achse bei \(x=1\) schneidet, und ihre waagerechte Asymptote.
- Erläutern Sie anhand der Graphen von \(f\) und \(F\), warum \(F\) streng monoton steigt, aber immer langsamer.
- Begründen Sie, warum sich eine Stammfunktion von \(\tfrac1x\) nicht mit der Potenzregel finden lässt, und nennen Sie die Stammfunktion.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
\(\tfrac1{x^2}=x^{-2}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
\(F_c(1)=0\).
Hinweis zu Aufgabe c)
\(F'=f\), und \(f\) ist positiv und fallend.
Hinweis zu Aufgabe d)
Was ergibt \(n+1\) für \(n=-1\)?
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(F_c(x)=-\tfrac1x+c\), \(c\in\mathbb R\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(-1+c=0\Rightarrow c=1\): \(F(x)=1-\tfrac1x\). Für \(x\to\infty\) gilt \(F(x)\to1\), Asymptote \(y=1\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(F'(x)=f(x)>0\): \(F\) steigt überall. Weil \(f\) gegen 0 fällt, wird die Steigung von \(F\) immer kleiner — \(F\) nähert sich der Asymptote.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Für \(n=-1\) wäre \(\tfrac1{n+1}x^{n+1}=\tfrac10x^0\) — Division durch null. Eine Stammfunktion von \(\tfrac1x\) ist \(\ln|x|\) (1.2.3).