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Grundfunktionen integrieren

Potenzen, die e-Funktion, Sinus und Kosinus — für jede Grundfunktion genügt eine einzige Regel, rückwärts gelesen.

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Die Potenzregel

Die Ableitungsregel \((x^n)'=n\,x^{n-1}\) wird rückwärts gelesen: Der Exponent steigt um \(1\), geteilt wird durch den neuen Exponenten.

Herleitung:

\(\big(x^{r+1}\big)'=(r+1)\cdot x^{r}\)
Potenzregel
Ableiten senkt den Exponenten von \(r+1\) auf \(r\) und liefert den Vorfaktor \(r+1\).
\(\Big(\tfrac{1}{r+1}\,x^{r+1}\Big)'=\tfrac{1}{r+1}\cdot(r+1)\cdot x^{r}\)
Faktorregel
Mit \(\tfrac{1}{r+1}\) multiplizieren, damit der Vorfaktor verschwindet — das geht nur für \(r\ne-1\).
\(\Big(\tfrac{1}{r+1}\,x^{r+1}\Big)'=x^{r}\)
Ergebnis
\(\tfrac{1}{r+1}\,x^{r+1}\) ist eine Stammfunktion von \(x^r\).
  • Ganzzahlig:\(x^3\to\tfrac14x^4\), \(\;x\to\tfrac12x^2\), \(\;1=x^0\to x\).
  • Negativ:\(\tfrac1{x^2}=x^{-2}\to\tfrac{1}{-1}\,x^{-1}=-\tfrac1x\) für \(x\ne0\).
  • Gebrochen:\(\sqrt x=x^{\frac12}\to\tfrac{1}{3/2}\,x^{\frac32}=\tfrac23\,x^{\frac32}\) für \(x\ge0\).
  • Sonderfall:\(r=-1\), also \(\tfrac1x\): Der Faktor \(\tfrac{1}{r+1}=\tfrac10\) existiert nicht — hier hilft die Regel nicht.
Merke

Potenzregel: \(f(x)=x^r\ \Rightarrow\ F(x)=\dfrac{1}{r+1}\,x^{r+1}\quad(r\ne-1)\)

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Drei Grundfunktionen

Aus \((e^x)'=e^x\), \((\sin x)'=\cos x\) und \((\cos x)'=-\sin x\) liest man die Stammfunktionen rückwärts ab.

  • \(e^x\):\(F(x)=e^x\) — die e-Funktion ist ihre eigene Stammfunktion.
  • \(\cos x\):\(F(x)=\sin x\), denn \((\sin x)'=\cos x\).
  • \(\sin x\):\(F(x)=-\cos x\), denn \((-\cos x)'=-(-\sin x)=\sin x\).
  • Kreislauf:Ableiten: \(\sin x\to\cos x\to-\sin x\to-\cos x\to\sin x\) — Integrieren läuft ihn rückwärts.
  • Bogenmaß:Die Regeln gelten nur, wenn \(x\) im Bogenmaß steht.

Bring die Karten in die richtige Reihenfolge: In Runde 1 zeigt jeder Pfeil zur Stammfunktion, in Runde 2 zur Ableitung. Ziehen oder antippen — oder mit Leertaste aufnehmen, Pfeiltasten, Leertaste ablegen.

Integrier-Kreislauf ordnen

    Halte fest: Ableiten läuft den Kreislauf \(\sin x\to\cos x\to-\sin x\to-\cos x\) vorwärts, Integrieren läuft ihn rückwärts.

    Merke

    Stammfunktionen: \(e^x\to e^x\),   \(\sin x\to-\cos x\),   \(\cos x\to\sin x\)

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    Allgemeine Hinweise

    Durch den neuen Exponenten

    Zu \(x^5\) gehört \(\tfrac16x^6\), nicht \(\tfrac15x^6\) — erst den Exponenten erhöhen, dann durch ihn teilen.

    Brüche und Wurzeln umschreiben

    \(\tfrac{5}{x^4}\) erst als \(5x^{-4}\) schreiben: \(\tfrac{5}{-3}\,x^{-3}=-\tfrac{5}{3x^3}\). Den Nenner „hochzuintegrieren“ geht schief.

    Das Minus beim Sinus

    Zu \(\sin x\) gehört \(-\cos x\), nicht \(\cos x\) — denn \((\cos x)'=-\sin x\). Die Probe zeigt es in einer Zeile.

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