Ableiten ist die Probe — und eine Konstante entscheidet, welche Stammfunktion gemeint ist.
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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Welche passen?
AFB I
Gegeben ist f(x) = 3x² + 2. Gib alle Stammfunktionen von f an.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
6x ist die Ableitung, nicht die Stammfunktion. Bei x³ + 2 fehlt, dass die Konstante 2 zu 2x wird; bei 3x³ + 2x ergibt die Ableitung 9x² + 2.
Probe: Leite jeden Kandidaten ab.Warum? F ist Stammfunktion von f genau dann, wenn F′ = f.
Hilfe: Additive Konstanten fallen beim Ableiten weg.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I
Fünf Behauptungen über Stammfunktionen. Entscheide jeweils, ob sie stimmt.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5
Stammfunktionen bilden eine Schar F + C. Welches Mitglied gemeint ist, legt erst eine Zusatzbedingung wie F(0) = 2 fest.
Frage: Was passiert beim Ableiten von F + C?Warum? Daraus folgt fast alles über Stammfunktionen.
Hilfe: Positive Ableitung heißt steigend — nicht positiv.
A3
Funktion und Stammfunktion
AFB I
Verbinde jede Funktion f mit einer Stammfunktion F — prüfe durch Ableiten.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Richtung merken: Man leitet F ab und muss f erhalten — nicht umgekehrt. (−1/x)′ = 1/x².
Ansatz: Leite jede Karte rechts ab und suche das Ergebnis links.Warum? Ableiten ist die sichere Probe.
Sechs Proben aus einem Heft. Überprüfe sie und markiere die drei falschen.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Der typische Fehler ist, nicht abzuleiten, sondern nur „nach Gefühl“ zu vergleichen. Die Probe F′ = f entscheidet — immer.
Strategie: Leite in jeder Zeile F ab und vergleiche mit f.Warum? Nur so ist die Prüfung sicher.
Hilfe: √x = x^½, Ableitung ½ x^(−½).
A5
Die passende Konstante
AFB II
F(x) = x³ − 3x + C ist eine Stammfunktion von f(x) = 3x² − 3. Bestimme C so, dass F(1) = 4 gilt.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
F(1) = 1 − 3 + C = −2 + C = 4, also C = 6. Kontrolle: F′(x) = 3x² − 3 gilt für jedes C.
Ansatz: Setze x = 1 ein und löse nach C.Warum? Die Bedingung wählt ein Mitglied der Schar aus.
Hilfe: 1³ − 3 · 1 = −2.
A6
Stammfunktion, Ableitung oder keins?
AFB II
Ordne jedes Paar ein: Welche Rolle spielt die erste Funktion für die zweite?
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Stammfunktion
2Ableitung
3weder noch
Leitet man die erste Funktion ab und erhält die zweite, ist sie Stammfunktion. Leitet man die zweite ab und erhält die erste, ist sie Ableitung. x³ zu x²: (x³)′ = 3x² — der Faktor 3 stört.
Ansatz: Leite beide Funktionen ab und schaue, welche Richtung passt.Warum? Stammfunktion und Ableitung sind entgegengesetzte Richtungen.
Hilfe: (cos x)′ = −sin x und (−cos x)′ = sin x.
A7
Rechenkette: Koeffizienten bestimmen
AFB II
F(x) = ax³ + bx soll eine Stammfunktion von f(x) = 6x² − 5 sein. Ermittle Schritt für Schritt.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
a
b
F(2)
C, sodass G(x) = F(x) + C die Nullstelle x = 2 hat
Koeffizientenvergleich: F′(x) = 3ax² + b = 6x² − 5 ⇒ 3a = 6 und b = −5. F(2) = 16 − 10 = 6, also C = −6.
Ansatz: Leite F ab und vergleiche die Koeffizienten mit f.Warum? Zwei Polynome sind gleich, wenn alle Koeffizienten gleich sind.
Hilfe: 3a = 6.
A8
Schar nach Konstanten ordnen
AFB IIIMix
Alle Funktionen F(x) = x² + C sind Stammfunktionen von 2x. Jede Karte legt ein C fest. Vergleiche und ordne vom kleinsten zum größten C.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1F(2) = 1
2F(0) = −2
3F(−1) = 0
4F(3) = 10
5F(1) = 4
C-Werte: −3; −2; −1; 1; 3. Der Graph mit dem größten C liegt am höchsten — alle Graphen sind nur verschoben.
Ansatz: Setze jeweils ein und rechne C aus.Warum? Dann lassen sich die Karten direkt vergleichen.
Hilfe: F(2) = 4 + C = 1 ⇒ C = −3.
A9
Trickaufgabe — zwei Stammfunktionen
AFB IIITrick
F(x) = (x + 1)² und G(x) = x² + 2x sind beide Stammfunktionen von f(x) = 2x + 2. Berechne die Konstante F(x) − G(x).
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
(x + 1)² = x² + 2x + 1, also F − G = 1. Die Falle: Weil die Terme so verschieden aussehen, glaubt man, eine der beiden sei falsch.
Ansatz: Multipliziere (x + 1)² aus.Warum? Dann siehst du den Unterschied direkt.
Hilfe: Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich um eine Konstante — welche?
A10
Wo schneidet F die Achse?
AFB III
F ist die Stammfunktion von f(x) = 0,5x mit F(4) = 3. Ermittle die positive Nullstelle von F.
Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
06
F(x) = ¼x² + C, F(4) = 4 + C = 3 ⇒ C = −1. ¼x² − 1 = 0 ⇒ x = 2. Wer C vergisst, findet nur x = 0.
Ansatz: Erst alle Stammfunktionen, dann die Bedingung, dann die Nullstelle.Warum? Ohne C gibt es keine eindeutige Nullstelle.
