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Abituraufgaben: Stammfunktionen prüfen

Eine Pflanze, eine Schar von Graphen — und immer die Probe durch Ableiten.

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1

Wachstum einer Sonnenblume

AFB I–II

Die Wachstumsrate einer Sonnenblume wird für \(0\le t\le10\) (\(t\) in Wochen) durch \(w(t)=6t-0{,}6t^2\) in cm pro Woche beschrieben. Zu Beginn ist die Pflanze 5 cm hoch. Für die Höhe wird \(H(t)=3t^2-0{,}2t^3+5\) vorgeschlagen.

  1. Zeigen Sie, dass \(H\) eine Stammfunktion von \(w\) ist.
  2. Deuten Sie den Summanden \(+5\) im Term von \(H\).
  3. Berechnen Sie die Höhe nach 10 Wochen.
  4. Bestimmen Sie den Zeitpunkt des stärksten Wachstums und die zugehörige Wachstumsrate.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Ableiten und vergleichen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Welche Stammfunktion wird durch \(H(0)\) ausgewählt?
Hinweis zu Aufgabe c)
Einsetzen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Maximum von \(w\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(H'(t)=6t-0{,}6t^2=w(t)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(H(0)=5\): Die Konstante ist die Anfangshöhe. Sie wählt aus allen Stammfunktionen die passende aus.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(H(10)=300-200+5=105\,\mathrm{cm}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(w'(t)=6-1{,}2t=0\Rightarrow t=5\); \(w''<0\). \(w(5)=15\,\tfrac{\mathrm{cm}}{\text{Woche}}\). Dort hat \(H\) eine Wendestelle.

2

Eine Schar von Stammfunktionen

AFB II–III

Gegeben ist \(f(x)=x^2-4\). \(F_C\) bezeichnet die Stammfunktionen von \(f\) mit Konstante \(C\).

Drei Stammfunktionen
xy−4−3−2−1123−8−6−4−22468C = −3C = 3
Graphen von F für C = −3, C = 0 und C = 3
  1. Geben Sie einen Term für \(F_C\) an.
  2. Ermitteln Sie \(C\) so, dass der Graph von \(F_C\) durch \((3|0)\) verläuft.
  3. Untersuchen Sie, an welchen Stellen alle \(F_C\) Extrempunkte haben, und geben Sie deren Art an.
  4. Ermitteln Sie alle Werte von \(C\), für die \(F_C\) genau zwei Nullstellen hat.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Potenzregel, Konstante nicht vergessen.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(F_C(3)=0\) lösen.
Hinweis zu Aufgabe c)
\(F_C'=f\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Genau zwei Nullstellen: Ein Extrempunkt liegt auf der \(x\)-Achse.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(F_C(x)=\tfrac13x^3-4x+C\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(9-12+C=0\Rightarrow C=3\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(f(x)=0\) für \(x=\pm2\). Bei \(x=-2\) wechselt \(f\) von + nach − (Hochpunkt), bei \(x=2\) von − nach + (Tiefpunkt). Das gilt für jedes \(C\), weil die Graphen nur verschoben sind.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(F_C(-2)=\tfrac{16}3+C\), \(F_C(2)=-\tfrac{16}3+C\). Hochpunkt auf der Achse: \(C=-\tfrac{16}3\); Tiefpunkt auf der Achse: \(C=\tfrac{16}3\). Für diese beiden Werte gibt es genau zwei Nullstellen.