Stammfunktionen prüfen

Beim Bestand gilt \(B'(t)=r(t)\) — kennt man nur die Rate, sucht man die Funktion, deren Ableitung sie ist.

• Stammfunktion:\(F\) heißt Stammfunktion von \(f\), wenn \(F'(x)=f(x)\) für alle \(x\) des Definitionsbereichs gilt.
• Richtung:Ableiten führt von \(F\) zu \(f\) — gesucht ist jetzt der Rückweg von \(f\) zu \(F\).
• Probe:\(F\) ableiten und mit \(f\) vergleichen — nur wenn \(F'=f\) ist, stimmt \(F\).
• Werkzeuge:Potenzregel \((x^n)'=n\,x^{n-1}\), Faktorregel \((k\cdot g)'=k\cdot g'\), Summenregel \((g+h)'=g'+h'\).
• Beispiel:\(F(x)=x^4+2x\) liefert \(F'(x)=4x^3+2\) — also ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f(x)=4x^3+2\).

Eine Konstante fällt beim Ableiten weg — deshalb gibt es zu einer Stammfunktion unendlich viele weitere.

• Konstante:\((C)'=0\) für jede Zahl \(C\).
• Schar:Ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\), dann auch jede Funktion \(F+C\) mit \(C\in\mathbb R\).
• Graphen:in \(y\)-Richtung gegeneinander verschoben.
• Steigung:an jeder Stelle \(x\) bei allen gleich, nämlich \(f(x)\) — die Tangenten sind parallel.
• Umgekehrt:Zwei Stammfunktionen von \(f\) auf einem Intervall unterscheiden sich nur um eine Konstante.
• Bestand:Erst ein bekannter Wert wie der Anfangsbestand \(B(0)\) legt \(C\) fest.

Wähle einen Kandidaten \(F\): Seine Ableitung \(F'\) wird violett gestrichelt über \(f\) gelegt. Schalte dann auf „Schar“ und verschiebe die Stelle \(x_0\).

Halte fest: \(F\) ist genau dann eine Stammfunktion, wenn \(F'\) deckungsgleich auf \(f\) liegt — und jede Verschiebung \(F+C\) besteht die Probe ebenso.

Herleitung: