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Übungen: Rechteckstreifen als Näherung

Je schmaler die Streifen, desto genauer die Fläche — aber wie schmal ist schmal genug?

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Unter- und Obersumme
AFB I

f ist auf [a; b] streng monoton steigend und positiv. Gib alle richtigen Aussagen an.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Bei steigendem f ist der linke Funktionswert jedes Streifens der kleinste — das Rechteck bleibt unter dem Graphen. Die Streifenbreite ist Δx = (b − a) : n.
Skizze: Zeichne einen steigenden Graphen und einen Streifen. Welche Höhe passt ganz unter den Graphen?Warum? So entscheidest du links oder rechts.
Hilfe: Breite = Intervalllänge geteilt durch Anzahl der Streifen.
A2
Untersumme mit vier Streifen
AFB I

Berechne die Untersumme U4 für f(x) = x² + 1 auf [0; 2].

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Δx = 0,5; linke Stützstellen 0; 0,5; 1; 1,5 mit f-Werten 1; 1,25; 2; 3,25. Summe 7,5 · 0,5 = 3,75. Häufiger Fehler: die rechte Stelle x = 2 mitnehmen — die gehört zur Obersumme.
Ansatz: U4 = Δx · (f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + f(x₃)) mit linken Stützstellen.Warum? f steigt auf [0; 2].
Hilfe: Δx = 2 : 4 = 0,5.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Beschreibe die Idee der Produktsumme — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Das Intervall [a; b] wird in n Streifen der Δx zerlegt. In jedem Streifen wählt man eine xᵢ. Jeder Streifen liefert das f(xᵢ) · Δx. Die aller Produkte nähert die Fläche an; für n → ∞ bildet man den .

„Ableitung“ bleibt übrig — sie kommt in diesem Verfahren nicht vor.
Idee: Das Wort „Produktsumme“ verrät zwei Lücken schon.Warum? Jede Streifenfläche ist ein Produkt, alle zusammen eine Summe.
Hilfe: Die Stelle, an der die Höhe gemessen wird, heißt Stützstelle.
A4
Rechenkette: fallende Funktion
AFB II

f(x) = 4 − x² auf [0; 2] mit n = 4 Streifen. Bestimme Schritt für Schritt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Streifenbreite Δx
  2. Obersumme O4
  3. Untersumme U4
  4. Differenz O4 − U4
f fällt, also liefern die linken Stellen die Obersumme: (4 + 3,75 + 3 + 1,75) · 0,5 = 6,25; die rechten die Untersumme: (3,75 + 3 + 1,75 + 0) · 0,5 = 4,25. Die Differenz ist (f(0) − f(2)) · Δx = 4 · 0,5 = 2.
Ansatz: Bei fallendem f ist der linke Wert jedes Streifens der größte.Warum? Das Rechteck mit der größten Höhe ragt über den Graphen.
Hilfe: f(0,5) = 3,75; f(1) = 3; f(1,5) = 1,75.
A5
Links heißt unten?
AFB II

Ordne zu: Was liefern die linken Stützstellen auf dem angegebenen Intervall?

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Untersumme
2Obersumme
3weder noch
Nur bei monotonen Funktionen liefern linke Stützstellen sicher Un oder On. Wechselt die Monotonie im Intervall (x² auf [−1; 1], sin x auf [0; π]), ist die linke Summe keins von beiden.
Ansatz: Steigt oder fällt f auf dem ganzen Intervall?Warum? Davon hängt ab, ob der linke Wert der kleinste oder größte ist.
Hilfe: x² fällt auf [−2; 0]; sin x steigt bis π/2 und fällt danach.
A6
Obersumme Schritt für Schritt
AFB II

Bringe die Schritte zur Berechnung von On für ein steigendes f in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Streifenbreite Δx = (b − a) : n berechnen
2Stützstellen am rechten Streifenrand festlegen
3Funktionswerte an den Stützstellen berechnen
4Funktionswerte addieren
5Summe mit Δx multiplizieren
Rechenvorteil: Erst addieren, dann einmal mit Δx multiplizieren — statt jede Höhe einzeln mit Δx zu malnehmen.
Frage: Was brauchst du, bevor du überhaupt Stützstellen angeben kannst?Warum? Die Stützstellen liegen im Abstand Δx.
Hilfe: Rechte Ränder bei steigendem f, weil die Obersumme gesucht ist.
A7
Streifenbreiten
AFB II

Verbinde Intervall und Streifenzahl mit der Breite Δx.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Achte auf negative linke Grenzen: [−1; 3] ist 4 lang, nicht 2.
Ansatz: Δx = (b − a) : n.Warum? n gleich breite Streifen füllen das Intervall.
Hilfe: 3 − (−1) = 4.
A8
Differenz ohne Rechnen
AFB III

f(x) = x³ auf [0; 2] mit n = 8 Streifen. Schätze die Differenz O8 − U8 — oder finde eine Abkürzung.

Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
08
Bei monotonem f bleibt nach dem Abziehen nur ein Streifen übrig: On − Un = (f(b) − f(a)) · Δx = 8 · 0,25 = 2.
Idee: Schreibe beide Summen untereinander. Welche Summanden kommen in beiden vor?Warum? Die meisten Rechtecke gibt es in beiden Summen.
Hilfe: Übrig bleiben f(2) · Δx in O8 und f(0) · Δx in U8.
A9
Trickaufgabe — wie viele Streifen?
AFB III Trick

Für f(x) = 2x auf [0; 1] soll On − Un < 0,01 sein. Ermittle die kleinste Streifenzahl n.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
On − Un = (f(1) − f(0)) · 1/n = 2/n < 0,01 ⇔ n > 200. Die Falle: n = 200 ergibt genau 0,01 — das ist nicht kleiner.
Ansatz: Nutze On − Un = (f(b) − f(a)) · Δx.Warum? Das gilt für jede monotone Funktion.
Hilfe: Löse 2/n < 0,01 — und achte auf das „kleiner als“.
A10
Fehlersuche im Heft
AFB III Mix

Sechs Aussagen aus einem Referat über Produktsummen. Überprüfe sie und markiere die drei falschen.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Klassiker: Δx doppelt verrechnen. Es gibt nur eine Breite pro Rechteck — die Höhe f(xᵢ) enthält schon alles andere.
Strategie: Teste jede Aussage an einem kleinen Beispiel.Warum? Mit Zahlen fällt ein Denkfehler sofort auf.
Hilfe: f(x) = x auf [0; 4], n = 4: Δx = 1.