Durchfluss beim Befüllen
AFB I–IIBeim Befüllen eines Aquariums misst ein Sensor alle zwei Minuten den Durchfluss. Der Durchfluss steigt während der Messung ständig an.
| t in min | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| Durchfluss in L/min | 0 | 14 | 22 | 26 | 28 |
- Berechnen Sie mit Streifen der Breite 2 min eine Unter- und eine Obersumme für die zugeflossene Wassermenge.
- Begründen Sie, warum die tatsächliche Wassermenge zwischen beiden Werten liegt.
- Bestimmen Sie einen besseren Schätzwert und erläutern Sie, warum er besser ist.
- Nennen Sie eine Möglichkeit, die Differenz von Ober- und Untersumme zu halbieren.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(U=2\cdot(0+14+22+26)=124\,\mathrm L\), \(O=2\cdot(14+22+26+28)=180\,\mathrm L\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Weil der Durchfluss steigt, ist in jedem Zeitabschnitt der Anfangswert der kleinste und der Endwert der größte. Die Rechtecke der Untersumme liegen unter, die der Obersumme über dem Ratengraphen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\tfrac{124+180}2=152\,\mathrm L\) — das entspricht der Trapezsumme. Trapeze folgen dem Graphen zwischen den Messpunkten, statt nur den Anfangs- oder Endwert zu verwenden.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Messabstände halbieren (jede Minute messen): \(O-U=(28-0)\cdot\Delta t\) sinkt von 56 L auf 28 L.
Obersumme als Formel
AFB II–IIIFür \(f(x)=x^2\) auf \([0;3]\) wird das Intervall in \(n\) gleich breite Streifen geteilt. Verwenden Sie \(1^2+2^2+\dots+n^2=\tfrac{n(n+1)(2n+1)}6\).
- Ermitteln Sie \(O_3\).
- Leiten Sie her, dass \(O_n=\dfrac{9(n+1)(2n+1)}{2n^2}\) gilt.
- Ermitteln Sie \(\lim\limits_{n\to\infty}O_n\).
- Zeigen Sie, dass auch \(U_n\) gegen 9 strebt, ohne \(U_n\) neu herzuleiten.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(O_3=1\cdot(1+4+9)=14\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(O_n=\tfrac3n\sum_{i=1}^n\big(\tfrac{3i}n\big)^2=\tfrac{27}{n^3}\sum_{i=1}^n i^2=\tfrac{27}{n^3}\cdot\tfrac{n(n+1)(2n+1)}6=\tfrac{9(n+1)(2n+1)}{2n^2}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\tfrac{9(2n^2+3n+1)}{2n^2}=9+\tfrac{27}{2n}+\tfrac9{2n^2}\to9\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(U_n=O_n-9\cdot\tfrac3n=O_n-\tfrac{27}n\). Da \(\tfrac{27}n\to0\), gilt \(U_n\to9\). Die Fläche unter \(x^2\) auf \([0;3]\) ist 9.