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Rechteckstreifen als Näherung

Wie misst man die Fläche unter einer Kurve, wenn man nur Rechtecke berechnen kann?

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Gekrümmte Raten: Streifen statt Rechteck

Änderung = Rate · Dauer gilt nur, solange die Rate konstant ist — bei einer gekrümmten Rate zerlegt man die Fläche in schmale Streifen.

  • Zerlegen:das Intervall \([a;\,b]\) in \(n\) gleich breite Streifen teilen.
  • Streifenbreite:\(\Delta x=\dfrac{b-a}{n}\).
  • Stützstelle:in jedem Streifen eine Stelle \(x_i\) wählen — linker Rand, rechter Rand oder Mitte.
  • Streifenhöhe:der Funktionswert \(f(x_i)\); der Streifen wird durch ein Rechteck mit Inhalt \(f(x_i)\cdot\Delta x\) ersetzt.
  • Produktsumme:alle Rechtecke addieren — im Sachkontext: Rate · kurze Zeitspanne, aufsummiert zur Gesamtänderung.
Merke

Produktsumme: \(S_n=f(x_1)\cdot\Delta x+f(x_2)\cdot\Delta x+\dots+f(x_n)\cdot\Delta x\)   mit   \(\Delta x=\tfrac{b-a}{n}\)

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Untersumme und Obersumme

Für eine monotone Funktion liefern die Streifenränder zwei Näherungen, die die Fläche \(A\) von unten und von oben einschließen.

  • \(f\) steigend:linke Stützstellen ergeben die Untersumme \(U_n\) (Rechtecke unter dem Graphen), rechte die Obersumme \(O_n\).
  • \(f\) fallend:genau umgekehrt — links liegt jetzt der größte Wert im Streifen.
  • Einschachtelung:\(U_n\le A\le O_n\).
  • Mitte:die Mittelpunkt-Summe liegt dazwischen und ist schon für kleine \(n\) meist sehr genau.
  • Verfeinern:mit wachsendem \(n\) rücken \(U_n\) und \(O_n\) zusammen.

Erhöhe \(n\) schrittweise und schalte zwischen linken, rechten und mittleren Stützstellen um. Beobachte, wie weit Unter- und Obersumme noch auseinanderliegen.

Streifen unter der Kurve

Halte fest: Die Fläche liegt immer zwischen \(U_n\) und \(O_n\) — ihr Abstand ist hier genau \(\tfrac{13{,}5}{n}\) und halbiert sich, wenn man \(n\) verdoppelt.

Herleitung:

\(O_n-U_n=\Delta x\cdot\big(f(x_1)+\dots+f(x_n)\big)-\Delta x\cdot\big(f(x_0)+\dots+f(x_{n-1})\big)\)
zusammenfassen
Start (\(f\) steigend): Streifengrenzen \(x_k=a+k\cdot\Delta x\), rechte minus linke Ränder.
\(O_n-U_n=\Delta x\cdot\big(f(x_n)-f(x_0)\big)\)
einsetzen
\(f(x_1)\) bis \(f(x_{n-1})\) stehen in beiden Summen und heben sich weg.
\(O_n-U_n=\big(f(b)-f(a)\big)\cdot\dfrac{b-a}{n}\)
Ergebnis
\(x_0=a\), \(x_n=b\) und \(\Delta x=\tfrac{b-a}{n}\) — der Abstand wird mit wachsendem \(n\) beliebig klein.
Merke

\(f\) monoton: \(U_n\le A\le O_n\)   und   \(O_n-U_n=\big|f(b)-f(a)\big|\cdot\Delta x\)

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Allgemeine Hinweise

Δx nicht vergessen

Die Produktsumme addiert Rechteckflächen \(f(x_i)\cdot\Delta x\), nicht nur die Funktionswerte. Ohne \(\Delta x\) ist das Ergebnis um den Faktor \(\tfrac1{\Delta x}\) zu groß.

Links heißt nicht immer „unten“

Ob die linken Stützstellen Unter- oder Obersumme liefern, hängt von der Monotonie ab. Bei fallendem \(f\) ergibt links die Obersumme.

Δx ausklammern

\(S_n=\Delta x\cdot\big(f(x_1)+\dots+f(x_n)\big)\) — erst die Funktionswerte in einer Tabelle sammeln und addieren, dann einmal mit \(\Delta x\) multiplizieren.

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