Bilanz, Bestand oder Rate? Integrale richtig deuten — mit Einheit.
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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Was bedeutet das Integral?
AFB I
Die Zuflussrate eines Tanks ist r(t) in L/min, und es gilt ∫06 r(t) dt = 120. Gib alle richtigen Deutungen an.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Das Integral ist eine Bilanz: Zu- und Abfluss sind darin verrechnet. Ob zwischendurch Wasser abfloss, verrät die Zahl 120 nicht.
Frage: Ist das Integral einer Rate ein Bestand, eine Änderung oder eine Rate?Warum? Das trennt richtige von falschen Deutungen.
Hilfe: Mittlere Rate = Integral : Dauer.
A2
Einheiten des Integrals
AFB I
Verbinde die Einheit der Rate mit der Einheit ihres Integrals über die Zeit.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Einheit des Integrals = Einheit der Rate · Einheit der Zeit. Die Zeiteinheiten kürzen sich.
Ansatz: Multipliziere die Einheiten.Warum? Das Integral ist eine Summe von Produkten Rate · Zeitspanne.
Hilfe: kW · h = kWh.
A3
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I
Fünf Behauptungen zu Integralen im Sachkontext. Entscheide.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5
Integral = Bilanz. Wer nach dem Bestand fragt, braucht zusätzlich den Anfangsbestand.
Ansatz: Übersetze jede Aussage: Geht es um Bestand, Änderung oder Rate?Warum? Viele Fehler sind Verwechslungen dieser drei.
Hilfe: Eine Bilanz von 0 kann aus +50 und −50 entstehen.
A4
Download mit sinkender Datenrate
AFB II
Die Datenrate eines Downloads sinkt linear: r(t) = 20 − 2t (MB/s) für 0 ≤ t ≤ 10. Berechne die übertragene Datenmenge.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Ansatz: Stammfunktion 0,1t³.Warum? Potenz- und Faktorregel.
Hilfe: Mittlere Rate = Menge : Dauer.
A6
Bestand, Änderung oder Rate?
AFB II
Ein Bestand B hat die Änderungsrate r, B(0) = 50. Ordne jeden Ausdruck ein.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Bestand
2Änderung des Bestands
3Rate
¼ ∫04 r(t) dt ist eine mittlere Rate — die Einheit ist wieder „pro Zeit“.
Ansatz: Prüfe die Einheit jedes Ausdrucks.Warum? Bestand, Änderung und Rate haben erkennbare Einheiten.
Hilfe: Ein Integral geteilt durch eine Zeit ist eine Rate.
A7
Wann ist der Tank am vollsten?
AFB II
Bringe die Schritte zur Beantwortung dieser Frage in eine sinnvolle Reihenfolge.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Nullstellen der Zuflussrate bestimmen
2Vorzeichenwechsel + → − prüfen
3Randstellen des Zeitintervalls als Kandidaten hinzunehmen
4Bestände an allen Kandidaten mit B(0) + Integral berechnen
5größten Bestand auswählen und im Sachkontext formulieren
Die Randstellen werden oft vergessen: Ist die Rate am Ende noch positiv, kann der größte Bestand am Intervallende liegen.
Frage: Wo kann ein Bestand maximal sein?Warum? Innere Extremstellen oder Ränder.
Hilfe: Vergleichen lassen sich nur berechnete Bestände.
A8
Fehlersuche im Heft
AFB IIIMix
Sechs Sätze aus einer Auswertung zu einer Zuflussrate r (L/min). Überprüfe sie und markiere die drei falschen.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Bestand und Änderung auseinanderhalten — und Einheiten multiplizieren, nicht dividieren.
Strategie: Prüfe Einheiten und die Rolle des Anfangsbestands.Warum? Das deckt alle drei Fehler auf.
Hilfe: Nullstelle der Rate ≠ Nullstelle des Bestands.
A9
Trickaufgabe — die Pause
AFB IIITrick
Eine Heizölpumpe fördert 40 L/min. Nach 5 min macht sie 3 min Pause und läuft dann wieder mit 40 L/min. Ermittle den Zeitpunkt, zu dem insgesamt 400 L gefördert sind.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Nach 5 min sind 200 L gefördert, in der Pause bleibt es dabei. Die restlichen 200 L brauchen noch 5 min: t = 8 + 5 = 13 min. Die Falle: 400 : 40 = 10 min rechnen und die Pause vergessen.
Ansatz: Zeichne den Ratengraphen: Rechteck, Lücke, Rechteck.Warum? Während der Pause wächst die Fläche nicht.
Hilfe: Bei t = 8 sind es noch 200 L.
A10
Schätz-Regler: ein ganzer Tag
AFB III
Die Zuflussrate eines Regenrückhalteteichs nach einem Schauer ist r(t) = 100 · e−0,2t (L/h, t in h). Schätze die Zuflussmenge an einem ganzen Tag.
Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
01000
∫024 100e−0,2t dt = 500(1 − e−4,8) ≈ 496 L. Schon nach einem Tag ist fast die Grenze von 500 L erreicht — mehr kommt auch in unendlich langer Zeit nicht hinzu (1.3.5).
Ansatz: Stammfunktion −500e−0,2t.Warum? Durch die innere Ableitung −0,2 teilen.
