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Abituraufgaben: Integrale im Sachkontext

Windstrom über einen Tag und ein Stau, der sich auflöst.

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Strom aus dem Windpark

AFB I–II

Die Leistung eines Windparks wird an einem Tag durch \(P(t)=300+200\sin\big(\tfrac\pi{12}t\big)\) beschrieben (\(P\) in kW, \(t\) in h nach Mitternacht, \(0\le t\le24\)).

Leistung des Windparks
tP246810121416182022100200300400500P
P(t) in kW, t in h
  1. Berechnen Sie die an diesem Tag erzeugte Energie.
  2. Geben Sie die mittlere Leistung an.
  3. Ermitteln Sie die Energie, die von 0 bis 12 Uhr erzeugt wird.
  4. Erläutern Sie, wie man das Ergebnis aus c) mit dem GTR kontrolliert, und deuten Sie den Unterschied zur zweiten Tageshälfte.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Über eine volle Periode integriert ergibt der Sinusanteil 0.
Hinweis zu Aufgabe b)
Energie geteilt durch 24 h.
Hinweis zu Aufgabe c)
\(\cos\pi=-1\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Winkelmodus Bogenmaß.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\int_0^{24}P\,\mathrm dt=\big[300t-\tfrac{2400}\pi\cos(\tfrac\pi{12}t)\big]_0^{24}=7200-\tfrac{2400}\pi+\tfrac{2400}\pi=7200\,\mathrm{kWh}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(7200:24=300\,\mathrm{kW}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(3600-\tfrac{2400}\pi(\cos\pi-\cos0)=3600+\tfrac{4800}\pi\approx5128\,\mathrm{kWh}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

fx-CG50: SHIFT MENU (SET UP) → Angle: Rad; RUN-MAT, OPTN → F4 (CALC) → F4 (∫dx), Integrand \(300+200\sin(\pi x/12)\), Grenzen 0 und 12 → 5127,9. In der zweiten Tageshälfte sind es nur \(7200-5128\approx2072\,\mathrm{kWh}\), weil die Leistung dort unter 300 kW liegt.

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Stau vor der Baustelle

AFB II–III

Vor einer Baustelle stehen 30 Autos im Stau. Ab \(t=0\) (in min) fahren Autos mit der Rate \(z(t)=40+20t-5t^2\) (Autos pro Minute) in den Stau ein, durch die Baustelle kommen konstant 50 Autos pro Minute heraus.

  1. Stellen Sie einen Term für die Anzahl \(S(t)\) der Autos im Stau auf.
  2. Untersuchen Sie, wann der Stau am längsten ist, und geben Sie die Anzahl der Autos an.
  3. Bestimmen Sie mit dem GTR, wann sich der Stau aufgelöst hat.
  4. Bewerten Sie das Modell für \(t>5{,}5\).

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(S(t)=30+\int_0^t(z(s)-50)\,\mathrm ds\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Nullstellen von \(z-50\) mit VZW + → −.
Hinweis zu Aufgabe c)
\(S(t)=0\) für \(t>3{,}41\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Was liefert der Term danach? Was passiert real?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(S(t)=30-10t+10t^2-\tfrac53t^3\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(z(t)-50=-5(t^2-4t+2)=0\Rightarrow t=2\pm\sqrt2\). Bei \(t=2+\sqrt2\approx3{,}41\) wechselt die Rate von + nach −: \(S\approx46\) Autos (Minimum bei \(2-\sqrt2\) mit etwa 27 Autos).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

GTR (Nullstelle im GRAPH-Menü): \(t\approx5{,}50\) min.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Für \(t>5{,}5\) wird \(S\) negativ — unmöglich. Real bleibt der Stau bei 0, sobald er aufgelöst ist; außerdem wird schon ab \(t=2+2\sqrt3\approx5{,}46\) die Zuflussrate \(z(t)\) selbst negativ, was sinnlos ist. Das Modell taugt nur bis etwa zur Auflösung des Staus; danach gilt \(S=0\).