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Übungen: Fläche zwischen zwei Graphen

Differenz bilden, Schnittstellen suchen — die x-Achse darf man vergessen.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Differenzfunktion
AFB I

Gib alle Aussagen an, die für die Fläche zwischen zwei Graphen stimmen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Geteilt wird an den Nullstellen von d, also an den Schnittstellen — nicht an den Nullstellen von f oder g. Liegt g oben, ist nur das Integral von f − g negativ; die Fläche ist sein Betrag.
Frage: Was misst d(x) = f(x) − g(x) an der Stelle x?Warum? Genau diese Streckenlänge wird aufsummiert.
Hilfe: Verschiebt man beide Graphen nach oben, bleibt d gleich.
A2
Gerade und Parabel
AFB I

Berechne den Inhalt der Fläche zwischen f(x) = 2x und g(x) = x² (drei Nachkommastellen).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Schnittstellen 0 und 2; auf [0; 2] liegt die Gerade oben. ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3.
Ansatz: 2x = x² ⇒ x = 0 oder x = 2.Warum? Die Schnittstellen sind die Grenzen.
Hilfe: Bei x = 1: 2 > 1 — die Gerade liegt oben.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Beschreibe das Verfahren — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Zuerst bestimmt man die der beiden Graphen. Dann integriert man die d = f − g zwischen je zwei benachbarten Grenzen. Liegt f dort , ist das Teilintegral positiv. Wechseln die Graphen ihre Lage, addiert man die der Teilintegrale. Die Lage zur ist dabei ohne Bedeutung.

„Tangente“ bleibt übrig — sie hat mit der Fläche zwischen zwei Graphen nichts zu tun.
Idee: Es ist dasselbe Verfahren wie bei der Fläche bis zur x-Achse, nur mit d statt f.Warum? Die x-Achse ist der Graph von g(x) = 0.
Hilfe: Nullstellen von d = Schnittstellen.
A4
Rechenkette: Parabel und Gerade
AFB II

f(x) = x² und g(x) = x + 2. Ermittle Schritt für Schritt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. linke Schnittstelle
  2. rechte Schnittstelle
  3. Differenz g(0) − f(0)
  4. Flächeninhalt FE
d(x) = x + 2 − x² ist auf ]−1; 2[ positiv. [½x² + 2x − ⅓x³]₋₁² = 10/3 − (−7/6) = 4,5.
Ansatz: x² = x + 2 ⇔ x² − x − 2 = 0.Warum? Die Schnittstellen begrenzen die Fläche.
Hilfe: (x − 2)(x + 1) = 0.
A5
Wer liegt oben?
AFB II

Ordne ein, welcher Graph auf dem Intervall oben liegt.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1f liegt oben
2g liegt oben
3Lage wechselt
Testwert einsetzen reicht nur, wenn im Intervall kein Schnittpunkt liegt. √x und x schneiden sich bei x = 1, sin und cos bei π/4.
Ansatz: Erst Schnittstellen im Intervall suchen, dann einen Testwert einsetzen.Warum? Ein Schnittpunkt kehrt die Lage um.
Hilfe: Für 0 < x < 1 gilt x³ < x² < x.
A6
Fläche zwischen Graphen in Schritten
AFB II

Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Gleichung f(x) = g(x) lösen
2Differenzfunktion d = f − g aufstellen
3Stammfunktion D von d bilden
4Teilintegrale zwischen benachbarten Schnittstellen berechnen
5Beträge addieren und mit FE angeben
Man kann d auch vor dem Gleichsetzen aufstellen — Nullstellen von d sind genau die Schnittstellen. Entscheidend ist: nur einmal integrieren, und zwar die Differenz.
Frage: Welche Zahlen brauchst du als Grenzen?Warum? Ohne Grenzen kein bestimmtes Integral.
Hilfe: Beträge erst am Ende.
A7
Flächen zwischen Graphen
AFB II Mix

Verbinde jedes Paar von Graphen mit dem Inhalt der eingeschlossenen Fläche (bzw. auf dem angegebenen Intervall).

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Bei √x und x² liegen die Schnittstellen bei 0 und 1: ∫01 (√x − x²) dx = ⅔ − ⅓ = ⅓.
Ansatz: Schnittstellen bestimmen, Differenz integrieren.Warum? Das gibt die Fläche direkt.
Hilfe: ∫01 (eˣ − 1) dx = (e − 1) − 1.
A8
Fehlersuche im Heft
AFB III

Sechs Zeilen aus einer Klausur. Überprüfe sie und markiere die drei falschen.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Die x-Achse ist beim Flächeninhalt zwischen zwei Graphen irrelevant — wer dort teilt, macht sich unnötig Arbeit oder verrechnet sich.
Strategie: Frage bei jeder Zeile: Wird an Schnittstellen geteilt und die Differenz integriert?Warum? Nur das zählt.
Hilfe: x² = 2 − x ⇔ (x + 2)(x − 1) = 0.
A9
Trickaufgabe — die Parabeln sind egal
AFB III Trick

Bestimme den Inhalt der Fläche zwischen f(x) = x² + 5 und g(x) = x² + 1 auf [0; 3].

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
d(x) = f(x) − g(x) = 4 — ein Rechteck der Breite 3 und Höhe 4. Die Falle: beide Parabeln einzeln integrieren und sich verrechnen.
Ansatz: Bilde zuerst die Differenzfunktion.Warum? Oft vereinfacht sie sich stark.
Hilfe: x² − x² = 0.
A10
Schätz-Regler: Gerade mit Steigung k
AFB III

Die Gerade y = kx (k > 0) und die Parabel y = x² schließen eine Fläche ein. Ermittle k so, dass die Fläche 36 FE groß ist.

Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
010
Schnittstellen 0 und k: A(k) = ∫₀ᵏ (kx − x²) dx = ½k³ − ⅓k³ = k³/6. k³/6 = 36 ⇒ k = 6.
Ansatz: Fläche allgemein in Abhängigkeit von k berechnen.Warum? Dann bleibt eine Gleichung für k.
Hilfe: kx = x² ⇒ x = 0 oder x = k.