MINT lernen

Abituraufgaben: Fläche zwischen zwei Graphen

Ein Logo, eine kubische Funktion und eine Gerade, die halbieren soll.

Dein Fortschritt:
0 / 0 Aufgaben
1

Ein Blatt als Logo

AFB I–II

Ein Firmenlogo hat die Form eines Blattes, das von den Graphen \(f(x)=x^2\) und \(g(x)=\sqrt{8x}\) (\(x\ge0\)) begrenzt wird. 1 LE entspricht 5 cm.

Blatt-Logo
xy0,511,521234fg
Fläche zwischen x² und √(8x)
  1. Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Graphen.
  2. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Blattes in FE.
  3. Ermitteln Sie die Fläche des Logos in cm².
  4. Überprüfen Sie die Behauptung, das Blatt sei symmetrisch zur Geraden \(y=x\).

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Quadrieren: \(x^4=8x\).
Hinweis zu Aufgabe b)
\(\sqrt{8x}=2\sqrt2\,x^{1/2}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Flächen skalieren quadratisch.
Hinweis zu Aufgabe d)
Wäre das Blatt symmetrisch, müsste \(g\) die Umkehrfunktion von \(f\) sein.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(x^4-8x=x(x^3-8)=0\Rightarrow x=0\) oder \(x=2\). Schnittpunkte \((0|0)\) und \((2|4)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\int_0^2\big(2\sqrt2\,x^{1/2}-x^2\big)\,\mathrm dx=\big[\tfrac{4\sqrt2}3x^{3/2}-\tfrac13x^3\big]_0^2=\tfrac{4\sqrt2}3\cdot2\sqrt2-\tfrac83=\tfrac{16}3-\tfrac83=\tfrac83\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\tfrac83\cdot5^2=\tfrac{200}3\approx66{,}7\,\mathrm{cm^2}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Die Umkehrfunktion von \(y=x^2\) (\(x\ge0\)) ist \(y=\sqrt x\), nicht \(\sqrt{8x}\). Gegenbeispiel: \((1|1)\) liegt auf \(f\); sein Spiegelbild an \(y=x\) ist wieder \((1|1)\), aber \(g(1)=\sqrt8\ne1\). Die Behauptung ist falsch — das Blatt ist schief.

2

Graphen, die sich dreimal schneiden

AFB II–III

Gegeben sind \(f(x)=x^3-3x\) und \(g(x)=x\).

f und g
xy−2−112−5−4−3−2−11234fg
Graphen von f und g
  1. Berechnen Sie die Schnittstellen von \(f\) und \(g\).
  2. Bestimmen Sie den Inhalt der eingeschlossenen Fläche.
  3. Erläutern Sie, wie man die Fläche mit dem GTR ohne Aufteilen bestimmen kann.
  4. Ermitteln Sie \(c\in\,]0;2[\) so, dass die Gerade \(x=c\) das rechte Flächenstück halbiert.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(x^3-4x=0\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Symmetrie oder zwei Teilintegrale.
Hinweis zu Aufgabe c)
Betrag im Integranden.
Hinweis zu Aufgabe d)
\(\int_0^c(4x-x^3)\,\mathrm dx=2\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(x(x-2)(x+2)=0\Rightarrow x\in\{-2;0;2\}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(d(x)=x^3-4x\). \(\int_{-2}^0d=4\), \(\int_0^2d=-4\). Fläche \(4+4=8\,\mathrm{FE}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

fx-CG50, RUN-MAT: OPTN → F4 (CALC) → F4 (∫dx) mit dem Integranden \(|x^3-4x|\) (Betrag Abs aus OPTN → NUMERIC) und den Grenzen −2 und 2 liefert direkt 8. Ohne Betrag erhielte man 0.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(2c^2-\tfrac14c^4=2\iff c^4-8c^2+8=0\iff c^2=4-2\sqrt2\) (die andere Lösung liegt außerhalb). \(c=\sqrt{4-2\sqrt2}\approx1{,}08\).