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Fläche zwischen zwei Graphen

Zwei Kurven schließen eine Fläche ein — und es ist völlig egal, ob sie dabei über oder unter der x-Achse liegen.

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Oben minus unten

In 1.3.1 war die x-Achse die untere Grenze der Fläche — jetzt übernimmt ein zweiter Graph diese Rolle.

  • Differenzfunktion:\(d(x)=f(x)-g(x)\) — der senkrechte Abstand der beiden Graphen an der Stelle \(x\).
  • Oberer Graph:gilt \(f(x)\ge g(x)\) auf \([a;b]\), liegt \(f\) oben und es ist \(d(x)\ge0\).
  • Fläche:die Fläche zwischen \(f\) und \(g\) ist so groß wie die Fläche zwischen dem Graphen von \(d\) und der x-Achse.
  • Lage zur x-Achse:egal — schiebt man beide Graphen um dieselbe Zahl nach oben oder unten, bleibt \(d\) gleich.

Ziehe die grüne Messstrecke an verschiedene Stellen \(x\) und tippe jeweils auf „Messen“ (oder Enter). Jeder Messwert wandert als Punkt nach rechts — blende danach den Graphen von \(d\) und die Flächen ein.

Abstand messen, Fläche finden

Halte fest: Die Messstrecke ist \(d(x)=f(x)-g(x)\) lang — die Fläche zwischen \(f\) und \(g\) ist genau die Fläche zwischen \(d\) und der x-Achse, egal wo die beiden Graphen liegen.

Herleitung:

\(A=\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x-\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x\)
zusammenfassen
Zuerst \(0\le g\le f\): Fläche unter \(f\) minus Fläche unter \(g\).
\(A=\displaystyle\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm{d}x\)
um \(c\) schieben
Summenregel: gleiche Grenzen, also ein Integral über die Differenz.
\(A=\displaystyle\int_a^b\big((f(x)+c)-(g(x)+c)\big)\,\mathrm{d}x=\int_a^b d(x)\,\mathrm{d}x\)
Ergebnis
Das \(c\) hebt sich weg: Die Formel gilt auch, wenn die Graphen unter der x-Achse liegen.
Merke

\(f(x)\ge g(x)\) auf \([a;b]\): \(A=\displaystyle\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm{d}x\)

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Schnittstellen als Grenzen

Ohne vorgegebenes Intervall begrenzen die Schnittstellen der Graphen die Fläche.

  • Schnittstellen:\(f(x)=g(x)\) lösen, also die Nullstellen \(x_1<x_2<\dots\) von \(d\) bestimmen.
  • Wechsel:an jeder Schnittstelle mit Vorzeichenwechsel von \(d\) tauschen oberer und unterer Graph die Rollen.
  • Abschnittsweise:von Schnittstelle zu Schnittstelle einzeln integrieren — nie über einen Wechsel hinweg.
  • Beträge:jedes Teilintegral in Betragsstriche setzen, dann ist die Reihenfolge \(f-g\) oder \(g-f\) egal.
  • Beispiel:\(f(x)=x^3\), \(g(x)=x\), also \(d(x)=x^3-x=x\,(x-1)(x+1)\).
  • Schnittstellen:\(x_1=-1\), \(x_2=0\), \(x_3=1\).
  • Teilintegrale:\(\displaystyle\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,\mathrm{d}x=\Big[\tfrac14x^4-\tfrac12x^2\Big]_{-1}^{0}=\tfrac14\) und \(\displaystyle\int_{0}^{1}(x^3-x)\,\mathrm{d}x=-\tfrac14\).
  • Fläche:\(A=\big|\tfrac14\big|+\big|-\tfrac14\big|=\tfrac12\) — das Integral von \(-1\) bis \(1\) wäre dagegen \(0\).
Merke

Schnittstellen \(x_1<x_2<x_3\): \(A=\left|\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}\big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm{d}x\right|+\left|\displaystyle\int_{x_2}^{x_3}\big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm{d}x\right|\)

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Allgemeine Hinweise

Nullstellen von f und g sind egal

Als Grenzen zählen nur die Schnittstellen, also die Nullstellen von \(d\). Wo \(f\) oder \(g\) die x-Achse schneidet, spielt keine Rolle.

Ein Integral über alles täuscht

Liegt dazwischen ein Wechsel, heben sich die Teilflächen auf: Das Integral über \(x^3-x\) von \(-1\) bis \(1\) ist \(0\), die eingeschlossene Fläche aber \(\tfrac12\).

Erst d bilden, dann integrieren

Die Differenz \(f(x)-g(x)\) zuerst zusammenfassen — ein Term statt zwei spart Stammfunktionen und Rechenfehler.

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