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Übungen: Fläche bis zur x-Achse

Erst die Nullstellen, dann die Beträge — so wird aus der Bilanz ein Flächeninhalt.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Integral oder Fläche?
AFB I

Gib alle Aussagen an, die stimmen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Ein Flächeninhalt ist nie negativ. |∫ f| ist nur dann die Fläche, wenn f im Intervall das Vorzeichen nicht wechselt.
Frage: Was passiert mit Flächen unter der Achse im Integral?Warum? Sie zählen negativ und verrechnen sich mit den oberen.
Hilfe: Denke an sin x auf [0; 2π].
A2
Parabelbogen
AFB I

Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von f(x) = 4 − x² mit der x-Achse einschließt (drei Nachkommastellen).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Nullstellen ±2. [4x − ⅓x³]₋₂² = (8 − 8/3) − (−8 + 8/3) = 32/3 ≈ 10,667. Symmetrie spart Arbeit: 2 · ∫02 (4 − x²) dx.
Ansatz: Zuerst die Nullstellen als Grenzen bestimmen.Warum? Die eingeschlossene Fläche liegt zwischen ihnen.
Hilfe: 4 − x² = 0 ⇔ x = ±2.
A3
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen über Flächen. Entscheide.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Entscheidend sind Nullstellen mit Vorzeichenwechsel im Inneren des Intervalls.
Ansatz: Skizziere zu jeder Aussage kurz den Graphen.Warum? Die Lage zur Achse sieht man sofort.
Hilfe: Doppelte Nullstelle: Graph berührt die Achse.
A4
Rechenkette: Integral gegen Fläche
AFB II

f(x) = x² − 2x auf [0; 3]. Bestimme Schritt für Schritt (drei Nachkommastellen).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. ∫02 f(x) dx
  2. ∫23 f(x) dx
  3. ∫03 f(x) dx
  4. Flächeninhalt auf [0; 3] FE
Die beiden Teilflächen sind gleich groß und heben sich im Integral auf. Die Fläche ist 4/3 + 4/3 = 8/3.
Ansatz: Nullstelle x = 2 im Intervall — dort teilen.Warum? Links liegt f unter, rechts über der Achse.
Hilfe: F(x) = ⅓x³ − x²; F(2) = −4/3, F(3) = 0.
A5
Wie hängen Integral und Fläche zusammen?
AFB II

Ordne ein — ohne zu rechnen.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Fläche = Integral
2Fläche = −Integral
3aufteilen nötig
ln x ist für x < 1 negativ. x³ auf [−1; 2] und cos x auf [0; π] wechseln im Inneren das Vorzeichen.
Ansatz: Liegt der Graph im ganzen Intervall über, unter oder auf beiden Seiten der Achse?Warum? Davon hängt die Umrechnung ab.
Hilfe: ln 1 = 0; cos(π/2) = 0.
A6
Flächeninhalt in Schritten
AFB II

Bringe die Schritte zur Berechnung des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse über [a; b] in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Nullstellen von f bestimmen
2Nullstellen im Inneren von [a; b] auswählen
3Teilintegrale zwischen Grenzen und Nullstellen berechnen
4Beträge der Teilintegrale addieren
5Ergebnis mit Einheit FE angeben
Wer mit dem Integrieren beginnt, bevor die Nullstellen feststehen, rechnet oft ein einziges Integral über alles — und erhält nur die Bilanz.
Frage: Was brauchst du, um zu wissen, wie oft du integrieren musst?Warum? Die Nullstellen legen die Teilintervalle fest.
Hilfe: Addiert werden Beträge.
A7
Flächeninhalte
AFB II

Verbinde Funktion und Intervall mit dem eingeschlossenen Flächeninhalt.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
x auf [−1; 3]: ½ + 4,5 = 5, nicht das Integral 4. 1 − x auf [0; 2]: ½ + ½ = 1, obwohl das Integral 0 ist.
Ansatz: Nullstellen im Intervall suchen, Teilflächen als Beträge.Warum? Gesucht ist die Fläche, nicht das Integral.
Hilfe: x³ − 4x = x(x − 2)(x + 2) ist auf ]0; 2[ negativ.
A8
Fehlersuche im Heft
AFB III Mix

Sechs Zeilen aus einer Klausur. Überprüfe sie und markiere die drei falschen.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Betrag außerhalb statt innerhalb des Integrals — das ist genau der Unterschied zwischen |Bilanz| und Flächeninhalt.
Strategie: Prüfe jede Zeile: Wurde an Nullstellen geteilt?Warum? Daran scheitern fast alle falschen Flächen.
Hilfe: ∫|f| ≠ |∫f|, sobald f das Vorzeichen wechselt.
A9
Trickaufgabe — die Bilanz ist null
AFB III Trick

Ermittle den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f(x) = x³ − x und der x-Achse auf [−1; 1].

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Das Integral ist 0 (punktsymmetrisch). Nullstellen −1, 0, 1: Jede der beiden Teilflächen hat den Inhalt ¼, zusammen 0,5. Die Falle: aus „Integral 0“ auf „keine Fläche“ schließen.
Ansatz: Nullstellen bestimmen und die Symmetrie nutzen.Warum? Beide Teilflächen sind gleich groß.
Hilfe: ∫−10 (x³ − x) dx = [¼x⁴ − ½x²]₋₁⁰ = ¼.
A10
Schätz-Regler: Parameter für 16 FE
AFB III

Für a > 0 schließt der Graph von fₐ(x) = a · (4 − x²) mit der x-Achse eine Fläche ein. Ermittle a so, dass die Fläche 16 FE groß ist.

Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
04
A(a) = a · 32/3 = 16 ⇒ a = 1,5. Der Faktor a streckt den Graphen in y-Richtung — die Fläche wächst linear mit a.
Ansatz: Fläche für a = 1 berechnen, dann den Faktor a nutzen.Warum? Eine Streckung in y-Richtung vervielfacht die Fläche.
Hilfe: Für a = 1 ist die Fläche 32/3.