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Abituraufgaben: Fläche bis zur x-Achse

Nullstellen, Teilflächen, Parameter — Flächeninhalte sicher berechnen.

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Flächen an einer kubischen Funktion

AFB I–II

Gegeben ist \(f(x)=x^3-4x\).

Graph von f
xy−2−112−4−22468101214f
f(x) = x³ − 4x auf [−1; 3]
  1. Geben Sie die Nullstellen von \(f\) an.
  2. Berechnen Sie \(\int_{-1}^3f(x)\,\mathrm dx\).
  3. Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche zwischen Graph und \(x\)-Achse über \([-1;3]\).
  4. Erklären Sie den Unterschied zwischen den Ergebnissen aus b) und c).

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Ausklammern.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(F(x)=\tfrac14x^4-2x^2\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Teilen bei 0 und 2.
Hinweis zu Aufgabe d)
Vorzeichen der Teilflächen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(x(x^2-4)=0\Rightarrow x\in\{-2;0;2\}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(F(3)=\tfrac{81}4-18=2{,}25\), \(F(-1)=\tfrac14-2=-1{,}75\). Integral \(=4\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\int_{-1}^0f=0-(-1{,}75)=1{,}75\); \(\int_0^2f=-4\); \(\int_2^3f=2{,}25-(-4)=6{,}25\). Fläche \(1{,}75+4+6{,}25=12\,\mathrm{FE}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Im Integral zählt die Fläche auf \([0;2]\) negativ: \(1{,}75-4+6{,}25=4\). Der Flächeninhalt addiert alle Teilflächen positiv.

2

Parabeln mit Parameter

AFB II–III

Für \(a>0\) ist \(f_a(x)=x^2-a^2\) gegeben.

Drei Parabeln der Schar
xy−3−2−1123−10−8−6−4−22a = 1a = 3
f für a = 1, a = 2 und a = 3
  1. Zeigen Sie, dass die Fläche zwischen dem Graphen von \(f_a\) und der \(x\)-Achse den Inhalt \(A(a)=\tfrac43a^3\) hat.
  2. Ermitteln Sie \(a\) so, dass die Fläche \(36\,\mathrm{FE}\) beträgt.
  3. Vergleichen Sie die Flächen für \(a\) und \(2a\) und begründen Sie den Faktor geometrisch.
  4. Beurteilen Sie die Behauptung: „Für jede Fläche \(A>0\) gibt es genau ein passendes \(a\).“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Nullstellen \(\pm a\), Integral negativ.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(\tfrac43a^3=36\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Streckung in beide Richtungen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Monotonie von \(A(a)\), Wertebereich.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\int_{-a}^a(x^2-a^2)\,\mathrm dx=\big[\tfrac13x^3-a^2x\big]_{-a}^a=\big(\tfrac13a^3-a^3\big)-\big(-\tfrac13a^3+a^3\big)=-\tfrac43a^3\). Betrag: \(\tfrac43a^3\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(a^3=27\Rightarrow a=3\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(A(2a)=8A(a)\). Der Graph für \(2a\) entsteht durch Streckung mit Faktor 2 in \(x\)-Richtung und Faktor 4 in \(y\)-Richtung: \(2\cdot4=8\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(A(a)=\tfrac43a^3\) ist für \(a>0\) streng monoton steigend und nimmt jeden positiven Wert an (\(a=\sqrt[3]{\tfrac{3A}4}\)). Die Behauptung stimmt.