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Fläche bis zur x-Achse

Ein Integral kann null sein, obwohl der Graph eine große Fläche einschließt — wie passt das zusammen?

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Integral ist nicht gleich Fläche

Das Integral zählt Flächen unter der \(x\)-Achse negativ (1.1.4) — ein Flächeninhalt ist aber nie negativ.

  • Orientiert:Teilflächen über der \(x\)-Achse zählen positiv, unter der \(x\)-Achse negativ.
  • Aufheben:wechselt \(f\) im Intervall das Vorzeichen, heben sich die Teilflächen ganz oder teilweise auf.
  • Flächeninhalt:\(A\ge0\) — die Summe der Beträge aller Teilflächen.
  • Gleichheit:\(A=\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\) nur, wenn \(f(x)\ge0\) auf ganz \([a;b]\).

Klicke jede Teilfläche zwischen den Nullstellen an und markiere sie als \(+\) oder \(-\) (Tastatur: Tab, Enter). Vergleiche dann Integral und Flächeninhalt und klappe die negativen Teilflächen nach oben.

Teilflächen markieren

Halte fest: Das Integral ist die Summe der Teilflächen mit Vorzeichen, der Flächeninhalt die Summe ihrer Beträge — erst nach dem Hochklappen liegt alles über der \(x\)-Achse.

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Das Verfahren

Vier Schritte führen sicher zum Flächeninhalt zwischen Graph und \(x\)-Achse.

  • 1. Nullstellen:\(f(x)=0\) lösen, nur Nullstellen in \([a;b]\) behalten.
  • 2. Teilintervalle:\(a\), Nullstellen und \(b\) der Größe nach ordnen.
  • 3. Teilintegrale:jedes einzeln mit dem Hauptsatz \(\big[F(x)\big]\) berechnen.
  • 4. Beträge addieren:\(A=\Big|\displaystyle\int_a^{x_1}f(x)\,\mathrm dx\Big|+\Big|\displaystyle\int_{x_1}^{b}f(x)\,\mathrm dx\Big|\).
  • Ohne Grenzen:„Fläche, die der Graph mit der \(x\)-Achse einschließt“ — Grenzen sind die äußeren Nullstellen.

Rechenweg:

\(x^2-2x=x\,(x-2)=0\;\Rightarrow\;x=0,\ x=2\)
Nullstellen
Gesucht: Fläche zwischen \(f(x)=x^2-2x\) und \(x\)-Achse über \([0;3]\). Beide Nullstellen liegen im Intervall.
\(\displaystyle\int_0^2(x^2-2x)\,\mathrm dx=\Big[\tfrac13x^3-x^2\Big]_0^2=-\tfrac43\)
1. Teilintegral
\(\tfrac83-4-0=-\tfrac43\): negativ, der Graph liegt hier unter der \(x\)-Achse.
\(\displaystyle\int_2^3(x^2-2x)\,\mathrm dx=\Big[\tfrac13x^3-x^2\Big]_2^3=\tfrac43\)
2. Teilintegral
\((9-9)-\big(\tfrac83-4\big)=\tfrac43\): positiv, oberhalb der \(x\)-Achse.
\(A=\Big|-\tfrac43\Big|+\Big|\tfrac43\Big|=\tfrac83\approx2{,}67\)
Ergebnis
Das Integral über \([0;3]\) wäre \(-\tfrac43+\tfrac43=0\).
Merke

Nullstelle \(x_1\) in \([a;b]\): \(A=\Big|\displaystyle\int_a^{x_1}f(x)\,\mathrm dx\Big|+\Big|\displaystyle\int_{x_1}^{b}f(x)\,\mathrm dx\Big|\)

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Allgemeine Hinweise

Nie über Nullstellen hinweg

Erst an den Nullstellen teilen, dann Beträge nehmen. \(\Big|\displaystyle\int_0^3(x^2-2x)\,\mathrm dx\Big|\) ist \(0\), die Fläche aber \(\tfrac83\).

Doppelte Nullstellen

Berührt der Graph die \(x\)-Achse nur, wechselt \(f\) dort nicht das Vorzeichen — ein Teilen schadet nicht, ist aber nicht nötig.

Erst skizzieren

Eine grobe Skizze des Graphen zeigt sofort, welche Teilflächen unter der \(x\)-Achse liegen und negativ herauskommen müssen.

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