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Übungen: ln als Stammfunktion

Wo die Potenzregel aufgibt, übernimmt der natürliche Logarithmus.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Stammfunktionen von 1/x
AFB I

Gib alle Stammfunktionen von f(x) = 1/x auf dem Bereich x < 0 an.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Für x < 0 ist ln x nicht definiert; ln|x| = ln(−x). −1/x² ist die Ableitung von 1/x, nicht ihre Stammfunktion.
Frage: Ist ln x für negative x überhaupt definiert?Warum? Das schließt eine Karte sofort aus.
Hilfe: (ln(−x))′ = 1/(−x) · (−1) = 1/x.
A2
Integrale mit ln
AFB I

Berechne die Integrale im Kopf und finde die Paare.

Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
ln(e^k) = k. Beim Intervall [5; 5e] zählt nur das Verhältnis: ln(5e) − ln 5 = ln e = 1.
Ansatz: ∫ab 1/x dx = ln|b| − ln|a|.Warum? ln|x| ist Stammfunktion von 1/x.
Hilfe: ln(√e) = ½.
A3
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen zur ln-Funktion. Entscheide.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Die ln-Regel gilt nur auf Intervallen, die die 0 nicht enthalten — auf beiden Seiten mit ln|x|.
Frage: Liegt die 0 zwischen den Grenzen?Warum? Dort hat 1/x eine Polstelle.
Hilfe: ln 6 − ln 3 = ln 2.
A4
Ein Faktor vor 1/x
AFB II

Bestimme ∫28 3/x dx auf drei Nachkommastellen.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
3 · (ln 8 − ln 2) = 3 · ln 4 ≈ 4,159. Der Faktor 3 bleibt vor der Stammfunktion stehen.
Ansatz: Stammfunktion 3 ln x.Warum? Faktorregel.
Hilfe: ln 8 − ln 2 = ln 4.
A5
Existiert das Integral?
AFB II

Ordne jedes Integral über 1/x ein.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1positiv
2negativ
3nicht als gewöhnliches Integral
∫−1−3 1/x dx = ln 3 − ln 1 > 0: Die Fläche liegt unter der Achse, aber die Grenzen sind vertauscht. Sobald 0 im Intervall oder am Rand liegt, ist das Integral kein gewöhnliches mehr (Polstelle).
Ansatz: Erst prüfen: Liegt 0 in [a; b]? Dann das Vorzeichen: ln|b| − ln|a|.Warum? Die Polstelle schließt die Formel aus.
Hilfe: ln|−3| = ln 3.
A6
Rechenkette: Grenzen gesucht
AFB II

Ermittle die fehlenden Grenzen (drei Nachkommastellen, wo nötig).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. b > 1 mit ∫1b 1/x dx = 2
  2. c > 2 mit ∫2c 1/x dx = ln 3
  3. a > 0 mit ∫a20 1/x dx = ln 5
  4. b > 1 mit ∫1b 2/x dx = 1
ln b = 2 ⇒ b = e²; ln(c/2) = ln 3 ⇒ c = 6; ln(20/a) = ln 5 ⇒ a = 4; 2 ln b = 1 ⇒ b = √e.
Ansatz: Integral als ln-Differenz schreiben und nach der Grenze auflösen.Warum? ln b − ln a = ln(b/a).
Hilfe: ln b = k ⇔ b = eᵏ.
A7
Funktion und Stammfunktion
AFB II Mix

Verbinde jede Funktion mit einer Stammfunktion.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
(x + 1)/x zuerst aufteilen: 1 + 1/x. Und 1/x² ist ein Fall für die Potenzregel, nicht für ln.
Ansatz: Brüche mit Summe im Zähler aufteilen.Warum? Dann lässt sich summandenweise integrieren.
Hilfe: 1/x² = x⁻².
A8
Fehlersuche im Heft
AFB III

Sechs Zeilen aus einem Heft zu ln. Überprüfe sie und markiere die drei falschen.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Häufigster Fehler: ln b − ln a mit ln(b − a) verwechseln. Richtig ist ln(b : a).
Strategie: Rechne jede Zeile mit ln b − ln a = ln(b/a) nach.Warum? So werden Subtraktion und Division nicht verwechselt.
Hilfe: Die Polstelle nicht vergessen.
A9
Trickaufgabe — erst teilen
AFB III Trick

Bestimme ∫1e (x² + 1)/x dx auf drei Nachkommastellen.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
(x² + 1)/x = x + 1/x. Stammfunktion ½x² + ln x: (½e² + 1) − (½ + 0) = ½e² + ½ ≈ 4,195. Die Falle: Zähler und Nenner getrennt integrieren.
Ansatz: Teile den Bruch in zwei Summanden.Warum? Für einen Quotienten gibt es keine einfache Integrationsregel.
Hilfe: x²/x = x und 1/x bleibt.
A10
Schätz-Regler: Fläche unter der Hyperbel
AFB III

Schätze ∫12 1/x dx ab — ohne ln-Taste, z. B. mit einem Trapez.

Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
01,5
Ein Trapez: (1 + 0,5)/2 · 1 = 0,75. Der Graph ist nach oben gekrümmt, das Trapez liegt darüber — der wahre Wert ln 2 ≈ 0,693 ist etwas kleiner.
Ansatz: f(1) = 1, f(2) = 0,5.Warum? Mit zwei Werten entsteht ein Trapez.
Hilfe: Der Graph hängt durch — das Trapez überschätzt.