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Abituraufgaben: ln als Stammfunktion

Von der Hyperbel bis zum Gas im Zylinder: Integrale über 1/x.

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Integrale mit ln

AFB I–II

Gegeben ist \(f(x)=\dfrac2x+1\) für \(x\neq0\).

Graph von f
xy−6−5−4−3−2−112345−4−3−2−112345f
f(x) = 2/x + 1
  1. Geben Sie eine Stammfunktion von \(f\) für \(x>0\) an.
  2. Berechnen Sie \(\int_1^5 f(x)\,\mathrm dx\) exakt und auf drei Nachkommastellen.
  3. Zeigen Sie, dass \(F(x)=2\ln|x|+x\) auch für \(x<0\) Stammfunktion von \(f\) ist.
  4. Ermitteln Sie \(\int_{-3}^{-1}f(x)\,\mathrm dx\) und deuten Sie das Vorzeichen am Graphen.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Summandenweise.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(\ln1=0\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Für \(x<0\): \(\ln|x|=\ln(-x)\), Kettenregel.
Hinweis zu Aufgabe d)
Beträge in ln einsetzen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(F(x)=2\ln x+x\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\((2\ln5+5)-(0+1)=2\ln5+4\approx7{,}219\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(F(x)=2\ln(-x)+x\Rightarrow F'(x)=2\cdot\tfrac{-1}{-x}+1=\tfrac2x+1\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\((2\ln1-1)-(2\ln3-3)=2-2\ln3\approx-0{,}197\). Auf \([-3;-2]\) liegt der Graph über der Achse, auf \([-2;-1]\) darunter; der untere Teil ist etwas größer.

2

Gas dehnt sich aus

AFB II–III

Ein Gas wird bei gleichbleibender Temperatur ausgedehnt. Für den Druck gilt \(p(V)=\dfrac{200}{V}\) (\(p\) in Pa, \(V\) in m³). Die dabei vom Gas übertragene Energie ist \(W=\int_{V_1}^{V_2}p(V)\,\mathrm dV\) in Joule.

  1. Bestimmen Sie \(W\) für eine Ausdehnung von 0,01 m³ auf 0,04 m³.
  2. Begründen Sie, dass jede Verdopplung des Volumens dieselbe Energie liefert, unabhängig vom Startvolumen.
  3. Ermitteln Sie das Endvolumen, bei dem ab 0,01 m³ genau 400 J übertragen sind.
  4. Beurteilen Sie die Aussage: „Verzehnfacht man das Volumen statt es zu verdoppeln, erhält man fünfmal so viel Energie.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Stammfunktion \(200\ln V\).
Hinweis zu Aufgabe b)
\(\int_V^{2V}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
\(200\ln\tfrac{V}{0{,}01}=400\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Vergleiche \(\ln10\) mit \(5\ln2\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(W=200(\ln0{,}04-\ln0{,}01)=200\ln4\approx277\,\mathrm J\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(200(\ln(2V)-\ln V)=200\ln2\approx138{,}6\,\mathrm J\) — \(V\) kürzt sich heraus.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\ln\tfrac V{0{,}01}=2\Rightarrow V=0{,}01e^2\approx0{,}074\,\mathrm{m^3}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Verzehnfachen: \(200\ln10\approx460{,}5\,\mathrm J\), Verdoppeln: \(138{,}6\,\mathrm J\). Das ist nur etwa das 3,3-Fache, denn \(\ln10\approx2{,}30\) und \(\ln2\approx0{,}69\). Die Aussage ist falsch; die Energie wächst nur logarithmisch mit dem Volumenverhältnis.