ln-Funktion als Stammfunktion

Die Potenzregel aus 1.2.2 deckt fast alle Potenzen ab — nur eine einzige nicht.

• Potenzregel:\(x^n\) hat die Stammfunktion \(\tfrac{1}{n+1}\,x^{n+1}\) — für jedes ganzzahlige \(n\neq-1\).
• Lücke:für \(n=-1\), also \(f(x)=\tfrac1x=x^{-1}\), stünde \(\tfrac10\,x^0\) da — Division durch null.
• Kandidat:die natürliche Logarithmusfunktion \(\ln x\), die Umkehrfunktion von \(e^x\) (\(e^{\ln x}=x\) für \(x>0\)).
• Negative x:\(\ln(-x)\) hat nach der Kettenregel die Ableitung \(\tfrac{1}{-x}\cdot(-1)=\tfrac1x\) — beide Äste passen zu \(\ln|x|\).

Herleitung:

Mit \(\ln|x|\) werden Integrale über \(\tfrac1x\) zu Differenzen von Logarithmen.

• Von 1 bis b:\(\displaystyle\int_1^b\tfrac1x\,\mathrm dx=\ln b-\ln 1=\ln b\) für \(b>1\).
• Die Zahl e:\(\displaystyle\int_1^e\tfrac1x\,\mathrm dx=1\) — bei \(x=e\) ist die Fläche ab 1 genau eine Flächeneinheit.
• Verhältnis:\(\displaystyle\int_a^{k\cdot a}\tfrac1x\,\mathrm dx=\ln(ka)-\ln a=\ln k\) — nur das Verhältnis der Grenzen zählt.
• Links von 0:\(\displaystyle\int_{-4}^{-2}\tfrac1x\,\mathrm dx=\ln2-\ln4=-\ln2\) — der Graph liegt dort unter der \(x\)-Achse.
• Polstelle:\(\tfrac1x\) ist bei 0 nicht definiert — beide Grenzen müssen auf derselben Seite von 0 liegen.

Vergleiche in jeder Runde die Integrale A und B: Tippe „A größer“, „gleich“ oder „B größer“ und decke dann mit „Prüfen“ die Werte auf. „Neue Runde“ holt das nächste Paar.

Halte fest: Das Integral über \(\tfrac1x\) von \(a\) bis \(b\) ist \(\ln\tfrac ba\) — Intervalle mit gleichem Grenzen-Verhältnis haben gleich große Flächen, auch wenn sie ganz verschieden breit sind.