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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Ein Integral mit dem Hauptsatz
AFB IBerechne ∫13 (3x² − 2) dx.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
[x³ − 2x]₁³ = (27 − 6) − (1 − 2) = 21 + 1 = 22. Häufiger Fehler: die Klammer um F(1) weglassen und 21 − 1 = 20 rechnen.
Ansatz: Stammfunktion F(x) = x³ − 2x, dann F(3) − F(1).Warum? Hauptsatz.
Hilfe: F(1) = −1 — minus minus ergibt plus.
A2
Memory: Integralwerte
AFB IBestimme die Integrale und finde die Paare.
Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
∫0π sin x dx = [−cos x]₀^π = 1 − (−1) = 2. Und ∫14 √x dx = ⅔(8 − 1) = 14/3.
Ansatz: Zu jedem Integranden die Stammfunktion bilden.Warum? Dann bleibt nur Einsetzen.
Hilfe: √x → ⅔ x^(3/2).
A3
Stimmt's? — Hauptsatz
AFB IFünf Behauptungen zum Hauptsatz. Entscheide.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Der Hauptsatz verbindet zwei Welten: Integralfunktionen sind Stammfunktionen, und mit jeder Stammfunktion lässt sich ein Integral ausrechnen.
Frage: Was passiert mit C bei F(b) − F(a)?Warum? Das beantwortet zwei der fünf Aussagen.
Hilfe: Eine Integralfunktion hat bei x = a immer den Wert 0.
A4
Rechenkette: Integral und Mittelwert
AFB IIBetrachtet wird ∫−12 (x³ − x) dx. Ermittle Schritt für Schritt.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- F(2) für F(x) = ¼x⁴ − ½x²
- F(−1)
- Wert des Integrals
- mittlerer Funktionswert auf [−1; 2]
Der Mittelwert ist das Integral geteilt durch die Intervallbreite 3: 2,25 : 3 = 0,75 — die Höhe des Rechtecks mit derselben orientierten Fläche.
Ansatz: Einsetzen mit Klammern, dann subtrahieren.Warum? Vorzeichenfehler lauern bei negativen Grenzen.
Hilfe: F(−1) = ¼ − ½.
A5
Integralfunktion von cos?
AFB IIJede Karte ist ein Kandidat für eine Funktion zu f(t) = cos t. Ordne ein.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Integralfunktion ∫ₐˣ cos t dt
2Stammfunktion, aber keine Integralfunktion
3keine Stammfunktion
Eine Integralfunktion hat bei x = a eine Nullstelle. sin x + 2 liegt immer zwischen 1 und 3 und wird nie null — sie ist nur Stammfunktion.
Ansatz: Erst ableiten (Stammfunktion?), dann nach einer Nullstelle suchen.Warum? Iₐ(a) = 0 ist das Kennzeichen der Integralfunktion.
Hilfe: sin x + 0,5 = 0 hat Lösungen, sin x + 2 = 0 nicht.
A6
Hauptsatz in Schritten
AFB IIBringe die Schritte zur Berechnung von ∫ab f(x) dx in die richtige Reihenfolge.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Stammfunktion F von f bilden (ohne C)
2Probe: F′ = f
3Schreibweise [F(x)]ₐᵇ notieren
4obere Grenze einsetzen minus untere Grenze einsetzen (mit Klammern)
5Ergebnis als orientierte Fläche deuten
Die Probe gehört vor das Einsetzen: Ein falsches F macht jede weitere Rechnung wertlos.
Frage: Womit prüfst du, bevor du Zahlen einsetzt?Warum? Ableiten ist schnell und sicher.
Hilfe: Deuten ist immer der letzte Schritt.
A7
Integralfunktionen ausrechnen
AFB II MixVerbinde jede Integralfunktion mit ihrem Term.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Die untere Grenze bestimmt die Konstante: I(x) = F(x) − F(a). Deshalb ist ∫₀ˣ eᵗ dt = eˣ − 1 und nicht eˣ.
Ansatz: I(x) = F(x) − F(a).Warum? Hauptsatz mit oberer Grenze x.
Hilfe: e⁰ = 1, ln 1 = 0.
A8
Fehlersuche im Heft
AFB IIISechs Zeilen aus einer Hausaufgabe. Überprüfe sie und markiere die drei falschen.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Vorzeichen beim Einsetzen negativer Grenzen und die vergessene innere Ableitung sind die häufigsten Punkteverluste in der Klausur.
Strategie: Rechne jede Zeile mit Klammern um F(a) nach.Warum? So verschwinden die Vorzeichenfehler.
Hilfe: sin π = 0.
A9
Trickaufgabe — nicht integrieren
AFB III TrickGegeben ist I(x) = ∫₂ˣ (t³ + eᵗ) dt. Bestimme I′(0).
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Hauptsatz: I′(x) = x³ + eˣ, also I′(0) = 0 + 1 = 1. Die untere Grenze 2 spielt für die Ableitung keine Rolle. Die Falle: erst mühsam integrieren und dann ableiten.
Ansatz: Was ist die Ableitung einer Integralfunktion?Warum? Genau das sagt der Hauptsatz.
Hilfe: I′(x) = f(x).
A10
Wo wird das Integral null?
AFB IIIErmittle die Zahl b > 0 mit ∫0b (x² − 1) dx = 0.
Ansatz: Hauptsatz anwenden und die Gleichung nach b lösen.Warum? Das Integral ist ein Term in b.
Hilfe: b(⅓b² − 1) = 0.