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Abituraufgaben: Der Hauptsatz

Integralfunktion und Hauptsatz — von Extrempunkten bis zum Wagen auf der Schiene.

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1

Eine Integralfunktion untersuchen

AFB I–II

Gegeben ist die Integralfunktion \(I(x)=\int_0^x(t^2-2t)\,\mathrm dt\).

Integrand f(t) = t² − 2t
ty−112−1123f
Graph des Integranden
  1. Geben Sie einen integralfreien Term für \(I\) an.
  2. Berechnen Sie die Nullstellen von \(I\).
  3. Untersuchen Sie \(I\) auf Extrempunkte, ohne \(I\) abzuleiten.
  4. Deuten Sie \(I(3)=0\) geometrisch.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Hauptsatz mit oberer Grenze \(x\).
Hinweis zu Aufgabe b)
\(x^2(\tfrac13x-1)=0\).
Hinweis zu Aufgabe c)
\(I'=f\) — Vorzeichenwechsel des Integranden.
Hinweis zu Aufgabe d)
Flächen über und unter der Achse.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(I(x)=\big[\tfrac13t^3-t^2\big]_0^x=\tfrac13x^3-x^2\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(x=0\) (doppelt) und \(x=3\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(f(t)=t(t-2)\) wechselt bei 0 von + nach − (Hochpunkt \((0|0)\)) und bei 2 von − nach + (Tiefpunkt): \(I(2)=\tfrac83-4=-\tfrac43\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Die Fläche zwischen Graph und Achse auf \([0;2]\) (unter der Achse, \(\tfrac43\)) ist genauso groß wie die auf \([2;3]\) (über der Achse). Die orientierten Flächen heben sich auf.

2

Hin und her auf der Schiene

AFB II–III

Ein Wagen fährt auf einer geraden Schiene. Seine Geschwindigkeit ist \(v(t)=3t^2-12t+9\) (in m/s, \(t\) in s, \(0\le t\le4\)).

Geschwindigkeit
tv123−4−22468v
v(t) in m/s
  1. Bestimmen Sie \(\int_0^4v(t)\,\mathrm dt\).
  2. Interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.
  3. Ermitteln Sie den insgesamt zurückgelegten Weg.
  4. Nehmen Sie Stellung zu der Aussage: „Das Integral der Geschwindigkeit ist immer der gefahrene Weg.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Stammfunktion \(t^3-6t^2+9t\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Verschiebung oder Weg?
Hinweis zu Aufgabe c)
Nullstellen von \(v\): 1 und 3; Teilintegrale als Beträge.
Hinweis zu Aufgabe d)
Wann stimmt die Aussage?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(64-96+36=4\,\mathrm m\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Nach 4 s steht der Wagen 4 m vom Start entfernt (in Fahrtrichtung). Das ist die Verschiebung, nicht der gefahrene Weg.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(s(t)=t^3-6t^2+9t\): \(s(1)=4\), \(s(3)=0\), \(s(4)=4\). Weg: \(4+4+4=12\,\mathrm m\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Nur wenn \(v\) nie negativ wird. Fährt der Wagen zurück, heben sich Vorwärts- und Rückwärtsteile im Integral teilweise auf. Allgemein: Weg \(=\int|v(t)|\,\mathrm dt\), Verschiebung \(=\int v(t)\,\mathrm dt\).