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Der Hauptsatz

Warum liefert ausgerechnet das Rückwärts-Ableiten den Flächeninhalt unter einer Kurve?

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Warum Stammfunktionen Flächen liefern

Aus 1.1.4 kennst du das Integral als Grenzwert von Produktsummen, aus 1.2.1 bis 1.2.4 die Stammfunktionen — der Hauptsatz verbindet beides.

  • Integralfunktion:\(I_a(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm dt\) — orientierter Flächeninhalt von der festen Grenze \(a\) bis zur beweglichen Grenze \(x\).
  • Zuwachs:rückt \(x\) um \(h\) weiter, kommt ein schmaler Streifen hinzu: \(I_a(x+h)-I_a(x)=\Delta A\).
  • Fast-Rechteck:für kleines \(h\) ist der Streifen fast ein Rechteck mit Höhe \(f(x)\): \(\Delta A\approx f(x)\cdot h\).
  • Grenzwert:\(\dfrac{I_a(x+h)-I_a(x)}{h}\approx f(x)\) wird für \(h\to0\) exakt: \(I_a'(x)=f(x)\) (für stetiges \(f\)).
  • Folgerung:\(I_a\) ist eine Stammfunktion von \(f\).

Ziehe \(x\) und schneide den violetten Streifen mit „Streifen umlegen“ heraus. Verkleinere dann \(h\): In der Lupe wird der Streifen zum Rechteck \(f(x)\cdot h\), unten nähert sich die Sekante der grünen Tangente.

Streifen ausschneiden

Halte fest: Der Zuwachs \(\Delta A\) der Integralfunktion ist fast \(f(x)\cdot h\) — geteilt durch \(h\) bleibt im Grenzwert \(f(x)\), also ist die Steigung von \(I_0\) an jeder Stelle gleich \(f(x)\).

Herleitung:

\(F(x)=I_a(x)+C\)
Stammfunktion
Zwei Stammfunktionen von \(f\) unterscheiden sich nur um eine Konstante (1.2.1).
\(F(a)=I_a(a)+C=0+C\)
\(x=a\)
\(I_a(a)=\displaystyle\int_a^a f(t)\,\mathrm dt=0\), also \(C=F(a)\).
\(F(b)=I_a(b)+F(a)\)
\(x=b\)
\(x=b\) und \(C=F(a)\) einsetzen.
\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=I_a(b)=F(b)-F(a)\)
Ergebnis
Nach \(I_a(b)\) aufgelöst.
Merke

Hauptsatz: \(I_a'(x)=f(x)\)  und  \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=F(b)-F(a)\) für jede Stammfunktion \(F\) von \(f\)

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Integrale berechnen

Mit dem Hauptsatz wird aus dem Grenzwert eine kurze Rechnung — ganz ohne Streifen.

  • Schreibweise:\(\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)\) — Stammfunktion in eckigen Klammern, Grenzen daneben.
  • Schritt 1:Stammfunktion \(F\) mit den Regeln aus 1.2.2 bis 1.2.4 bilden; die Konstante \(C\) weglassen.
  • Schritt 2:obere Grenze einsetzen, untere Grenze einsetzen, subtrahieren.
  • Ergebnis:orientierter Flächeninhalt — negativ, wenn mehr Fläche unter der \(x\)-Achse liegt.

Rechenweg:

\(\displaystyle\int_1^3 (x^2+1)\,\mathrm dx=\Big[\tfrac13x^3+x\Big]_1^3\)
Stammfunktion
\(F(x)=\tfrac13x^3+x\), Probe: \(F'(x)=x^2+1\).
\(=\Big(\tfrac13\cdot3^3+3\Big)-\Big(\tfrac13\cdot1^3+1\Big)\)
einsetzen
Obere Grenze minus untere Grenze, jeweils mit Klammer.
\(=12-\tfrac43\)
ausrechnen
\(9+3=12\) und \(\tfrac13+1=\tfrac43\).
\(=\tfrac{32}{3}\approx10{,}67\)
Ergebnis
Positiv, denn \(x^2+1>0\) — der Graph liegt ganz über der \(x\)-Achse.
Merke

Integral berechnen: \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)\)

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Allgemeine Hinweise

Oben minus unten

Immer \(F(b)-F(a)\) mit der oberen Grenze zuerst. Vertauscht man die Reihenfolge, kippt das Vorzeichen.

Klammer um F(a)

Die untere Grenze wird als Ganzes abgezogen: \(-\big(\tfrac13+1\big)\), nicht \(-\tfrac13+1\).

C darf fehlen

\(\big(F(b)+C\big)-\big(F(a)+C\big)=F(b)-F(a)\) — jede Stammfunktion liefert dasselbe Ergebnis, also die einfachste nehmen.

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