MINT lernen

Übungen: Das Integral als Grenzwert

Orientierte Flächen, vertauschte Grenzen, Symmetrie — das Integral nach seinen Regeln.

Dein Fortschritt:
0 / 0 Aufgaben
1

Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Stimmt's? — Integralregeln
AFB I

Fünf Behauptungen über das bestimmte Integral. Entscheide jeweils, ob sie stimmt.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Das Integral ist eine orientierte Fläche — daher die Vorzeichenregeln beim Vertauschen der Grenzen und für Flächen unter der Achse.
Frage: Stell dir jede Aussage als Summe von Rechteckstreifen vor.Warum? Jede Integralregel ist eine Regel für Summen.
Hilfe: Bei vertauschten Grenzen wird Δx = (b − a) : n negativ.
A2
Integrale aus Flächenformeln
AFB I

Bestimme die Integrale ohne Rechner mit Rechteck-, Dreiecks- oder Trapezformel und finde die Paare.

Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
∫−22 x dx = 0, weil sich das Dreieck über und das Dreieck unter der Achse aufheben. Bei |x| liegt dagegen alles über der Achse: 2 · 4,5 = 9.
Ansatz: Skizziere jeden Integranden auf dem Intervall.Warum? Die Fläche ist dann eine bekannte Figur.
Hilfe: Unter der x-Achse zählt die Fläche negativ.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Beschreibe die Schreibweise ∫ab f(x) dx — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

In ∫ab f(x) dx heißt a die Grenze und b die Grenze. Die Funktion f(x) heißt , x heißt . Der Wert des Integrals ist die Fläche zwischen Graph und x-Achse über [a; b].

„Ableitung“ bleibt übrig. Das dx erinnert an die Streifenbreite Δx der Produktsumme.
Idee: Lies das Integral wie eine Produktsumme: Höhe f(x) mal Breite dx.Warum? Das Integralzeichen ist ein langgezogenes S für „Summe“.
Hilfe: Orientiert heißt: mit Vorzeichen.
A4
Gerade durch die Achse
AFB II

Berechne ∫−13 (2 − x) dx geometrisch.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Nullstelle bei x = 2: Dreieck über der Achse ½ · 3 · 3 = 4,5, Dreieck darunter ½ · 1 · 1 = 0,5. Integral 4,5 − 0,5 = 4. Wer die Beträge addiert, erhält 5 — das wäre der Flächeninhalt.
Ansatz: Skizziere die Gerade von (−1|3) bis (3|−1).Warum? Dann siehst du zwei Dreiecke.
Hilfe: Das untere Dreieck zählt negativ.
A5
Welches Vorzeichen?
AFB II

Ordne jedes Integral nach seinem Vorzeichen ein — ohne zu rechnen.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1positiv
2null
3negativ
Zwei Vorzeichen-Schalter: Liegt die Fläche unter der Achse, und stehen die Grenzen verkehrt herum? ∫20 (−x) dx: Fläche unter der Achse und vertauschte Grenzen — zweimal minus ergibt plus.
Ansatz: Skizze: Liegt der Graph über oder unter der Achse? Ist die obere Grenze kleiner als die untere?Warum? Beides kehrt das Vorzeichen um.
Hilfe: Bei punktsymmetrischen Integranden auf symmetrischen Intervallen heben sich die Flächen auf.
A6
Rechenkette: Integralregeln
AFB II

Bekannt sind ∫02 f(x) dx = 5 und ∫26 f(x) dx = −3. Ermittle Schritt für Schritt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. ∫06 f(x) dx
  2. ∫60 f(x) dx
  3. ∫06 3 · f(x) dx
  4. ∫06 (f(x) + 1) dx
Die +1 im letzten Schritt ist ein Rechteck der Höhe 1 und Breite 6: 2 + 6 = 8, nicht 2 + 1.
Ansatz: Intervalladditivität, Vertauschungsregel, Faktor- und Summenregel.Warum? Mehr als die gegebenen Werte brauchst du nicht.
Hilfe: ∫06 1 dx = 6.
A7
Integrale ordnen
AFB II

Vergleiche die Integrale und ordne sie vom kleinsten zum größten Wert.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1∫20 x dx
2∫−10 x dx
3∫01 x dx
4∫02 x dx
5∫03 1 dx
Werte: −2; −0,5; 0,5; 2; 3. Das Integral mit vertauschten Grenzen ist das kleinste, obwohl die Fläche selbst über der Achse liegt.
Ansatz: Jedes Integral ist ein Dreieck oder Rechteck.Warum? Die Integranden sind linear oder konstant.
Hilfe: ∫20 x dx = −∫02 x dx.
A8
Fehlersuche im Heft
AFB III Mix

Tom hat seine Hausaufgaben zu Integralen vorgerechnet. Überprüfe die sechs Zeilen und markiere die drei falschen.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Integral und Flächeninhalt sind zwei verschiedene Zahlen — das Integral kann null sein, obwohl der Graph eine Fläche einschließt.
Strategie: Skizziere die Fläche zu jeder Zeile.Warum? Vorzeichenfehler fallen im Bild sofort auf.
Hilfe: ∫41 x dx = −∫14 x dx = −(8 − 0,5).
A9
Trickaufgabe — Symmetrie nutzen
AFB III Trick

Bestimme ∫−44 (x³ − 5x + 2) dx ohne Stammfunktion.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
x³ − 5x ist punktsymmetrisch: Die Flächen links und rechts heben sich auf. Übrig bleibt das Rechteck unter der Konstanten 2: 8 · 2 = 16. Die Falle: glauben, man müsse den ganzen Term integrieren.
Ansatz: Zerlege den Integranden in einen ungeraden und einen konstanten Teil.Warum? Ungerade Funktionen haben auf [−a; a] das Integral 0.
Hilfe: ∫−44 2 dx ist ein Rechteck.
A10
Was passiert mit dem Integral?
AFB III

Es gilt ∫04 f(x) dx = 6. Beurteile ohne Rechnung, was mit dem Wert passiert.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = wird negativ, 2 = wird kleiner, bleibt positiv, 3 = bleibt gleich, 4 = wird größer, höchstens doppelt so groß, 5 = wird mehr als doppelt so groß. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = wird negativ5 = wird mehr als doppelt so groß
Der Graph wird um 1 nach oben verschoben.
f wird mit 3 multipliziert.
Die Grenzen werden vertauscht.
Der Graph wird an der y-Achse gespiegelt, integriert wird über [−4; 0].
Der Graph wird um 1 nach unten verschoben.
Eine Verschiebung um 1 ändert das Integral um ein Rechteck der Fläche 1 · 4 = 4: aus 6 wird 10 bzw. 2. Spiegeln samt Intervall lässt die Fläche unverändert.
Ansatz: Frage bei jeder Zeile: Welches Rechteck oder welcher Faktor kommt hinzu?Warum? Integralregeln sind Flächenregeln.
Hilfe: Verschiebung um c: Integral ändert sich um c · (b − a).