Integrale am Streckenzug
AFB I–IIDer Graph von \(f\) ist ein Streckenzug durch die Punkte \((0|2)\), \((2|2)\), \((4|-2)\) und \((6|0)\).
- Berechnen Sie \(\int_0^2 f(x)\,\mathrm dx\), \(\int_0^4 f(x)\,\mathrm dx\) und \(\int_0^6 f(x)\,\mathrm dx\).
- Bestimmen Sie den Flächeninhalt, den der Graph mit der \(x\)-Achse über \([0;6]\) einschließt.
- Ermitteln Sie die obere Grenze \(b\in[0;6]\), für die \(\int_0^b f(x)\,\mathrm dx\) am größten ist, und diesen Wert.
- Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass \(\int_6^0 f(x)\,\mathrm dx=-2\) gilt.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\int_0^2 f=4\). Von 2 bis 3: \(+1\), von 3 bis 4: \(-1\), also \(\int_0^4 f=4\). Von 4 bis 6: Dreieck \(-2\), also \(\int_0^6 f=2\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(4+1+1+2=8\) Flächeneinheiten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Das Integral wächst bis zur Nullstelle \(x=3\) und nimmt danach ab. Maximum bei \(b=3\): \(4+1=5\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Beim Vertauschen der Grenzen ändert sich das Vorzeichen: \(\int_6^0 f=-\int_0^6 f=-2\).
Das Integral von x als Grenzwert
AFB II–IIIFür \(b>0\) wird \(\int_0^b x\,\mathrm dx\) mit \(n\) gleich breiten Streifen und rechten Stützstellen angenähert. Verwenden Sie \(1+2+\dots+n=\tfrac{n(n+1)}2\).
- Zeigen Sie, dass für die Obersumme \(O_n=\dfrac{b^2(n+1)}{2n}\) gilt.
- Ermitteln Sie \(\int_0^b x\,\mathrm dx\) als Grenzwert.
- Leiten Sie mit den Integralregeln eine Formel für \(\int_a^b x\,\mathrm dx\) mit \(0<a<b\) her und berechnen Sie \(\int_2^5 x\,\mathrm dx\).
- Nehmen Sie Stellung zu der Aussage: „Weil \(\int_{-3}^3 x\,\mathrm dx=0\) ist, schließt der Graph von \(y=x\) auf \([-3;3]\) keine Fläche ein.“
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(O_n=\tfrac bn\sum_{i=1}^n i\tfrac bn=\tfrac{b^2}{n^2}\cdot\tfrac{n(n+1)}2=\tfrac{b^2(n+1)}{2n}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(O_n=\tfrac{b^2}2\big(1+\tfrac1n\big)\to\tfrac{b^2}2\). Das passt zur Dreiecksfläche \(\tfrac12\cdot b\cdot b\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\int_a^b x\,\mathrm dx=\tfrac{b^2}2-\tfrac{a^2}2\). \(\int_2^5 x\,\mathrm dx=12{,}5-2=10{,}5\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Aussage ist falsch. Das Integral ist null, weil die Dreiecke über und unter der Achse (je 4,5) mit verschiedenem Vorzeichen zählen. Der Flächeninhalt beträgt \(4{,}5+4{,}5=9\).