Rate mal Zeit, Fläche für Fläche — so wird aus einer Rate wieder ein Bestand.
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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Rate mal Zeit — Memory
AFB I
Ordne jeder Rate die Änderung des Bestands zu, die sie im angegebenen Zeitraum bewirkt.
Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
Ansatz: Zeichne dir zu jeder Rate den Graphen und bestimme die Fläche darunter.Warum? Die Änderung ist die orientierte Fläche unter dem Ratengraphen.
Hilfe: Trapez: Mittelwert der beiden Raten mal Dauer.
A2
Bestand aus Flächen
AFB I
Gib alle Aussagen an, die stimmen.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Konstante Rate ⇒ linearer Bestand. Die Einheit der Fläche ist Rate · Zeit, also die Bestandseinheit. Und die Änderung kennt man auch ohne Anfangsbestand — nur den Bestand selbst nicht.
Frage: Was liefert die Fläche — den Bestand oder seine Änderung?Warum? Das trennt die richtigen von den falschen Aussagen.
Hilfe: m³/h · h = m³.
A3
Parkhaus am Morgen
AFB I
Um 8 Uhr stehen 200 Autos im Parkhaus. Von 8 bis 9 Uhr kommen im Saldo 150 Autos pro Stunde hinzu, von 9 bis 11 Uhr noch 60 pro Stunde. Berechne die Zahl der Autos um 11 Uhr.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
200 + 150 · 1 + 60 · 2 = 470. Häufiger Fehler: 60 nur einmal statt für zwei Stunden rechnen.
Ansatz: Anfangsbestand plus zwei Rechteckflächen.Warum? Die Rate ist stückweise konstant.
Hilfe: Zweites Rechteck: 2 h breit, 60 Autos/h hoch.
A4
Rechenkette: Handy-Akku
AFB II
Ein Akku steht bei 20 %. Er lädt 30 min lang mit 1,5 % pro Minute; danach fällt die Laderate in 20 min gleichmäßig auf 0,5 % pro Minute. Dann wird das Handy abgesteckt und verbraucht 0,4 % pro Minute. Bestimme Schritt für Schritt (t in Minuten ab Ladebeginn).
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
Ladestand nach 30 min%
Ladestand nach 50 min%
Ladestand nach 110 min%
Zeitpunkt t, zu dem wieder 20 % erreicht sindmin
Zweiter Abschnitt ist ein Trapez: (1,5 + 0,5) : 2 · 20 = 20. Letzter Schritt: (85 − 20) : 0,4 = 162,5 min nach t = 50, also t = 212,5 min.
Ansatz: Jeder Abschnitt ist ein Rechteck oder ein Trapez unter dem Ratengraphen.Warum? Die Rate ist stückweise konstant bzw. linear.
Hilfe: Beim Entladen: Abnahme = 0,4 · Dauer.
A5
Mehr oder weniger als vorher?
AFB II
Ordne jede Situation danach ein, wie sich der Bestand insgesamt ändert.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Bestand nimmt insgesamt zu
2Bestand am Ende wie am Anfang
3Bestand nimmt insgesamt ab
Gezählt wird die Summe der orientierten Flächen. Beim linearen Übergang von −6 auf 2 in 4 h liegen drei Stunden unter der Achse: Dreieck −9 gegen +1 — die Abnahme überwiegt.
Ansatz: Rechne für jede Karte Fläche über minus Fläche unter der Achse.Warum? Das Vorzeichen der Summe entscheidet.
Hilfe: Linear von 4 auf 0 in 1 h: Dreieck mit Fläche 2.
A6
Bestände ordnen
AFB II
Eine Rate ist stückweise konstant: +3 auf [0; 2], −2 auf [2; 5], +4 auf [5; 6]; B(0) = 1. Vergleiche die Bestände und ordne sie vom kleinsten zum größten.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1B(5)
2B(0,5)
3B(4)
4B(6)
5B(2)
B(0,5) = 2,5; B(2) = 7; B(4) = 3; B(5) = 1; B(6) = 5. Der Bestand ist dort am größten, wo die Rate von + nach − wechselt, und dort am kleinsten, wo sie von − nach + wechselt.
Ansatz: Laufe die Zeitachse ab und addiere Rechteck für Rechteck.Warum? Jeder Bestand ist B(0) plus die Fläche bis dorthin.
Hilfe: B(2) = 1 + 6 = 7, danach sinkt der Bestand um 2 pro Einheit.
A7
Welche Rate, welcher Bestand?
AFB IIMix
Das Rekonstruieren gibt es überall in Mathematik und Physik. Verbinde jede Rate mit dem Bestand, den ihre Fläche liefert.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Kontrolle über die Einheit: Rate · Zeit muss die Einheit des Bestands ergeben — kW · h = kWh, A · s = C.
Ansatz: Multipliziere die Einheit der Rate mit einer Zeiteinheit.Warum? Die Fläche hat die Einheit Rate · Zeit.
Hilfe: Aus Physik: Q = I · t, E = P · t, s = v · t.
A8
Fehlersuche im Heft
AFB III
Sechs Sätze aus Mias Mitschrift zum Rekonstruieren. Überprüfe sie und markiere die drei falschen.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Am häufigsten: die Endrate statt der mittleren Rate verwenden. Bei linearer Rate zählt der Mittelwert aus Anfangs- und Endrate.
Strategie: Rechne jede Zahlenaussage mit einer Skizze nach.Warum? Eine Skizze zeigt sofort, ob Rechteck oder Trapez gemeint ist.
Hilfe: Achte auf Vorzeichen und auf die Form der Fläche.
A9
Trickaufgabe — rückwärts rekonstruieren
AFB IIITrick
Um 10 Uhr sind 540 Personen in einer Messehalle. Von 8 bis 10 Uhr kamen im Saldo konstant 120 Personen pro Stunde hinzu. Ermittle die Zahl der Personen um 8 Uhr.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
B(8) = B(10) − Fläche = 540 − 2 · 120 = 300. Die Falle: die Fläche addieren statt abziehen, weil man sonst immer „vorwärts“ rechnet.
Ansatz: B(10) = B(8) + Fläche von 8 bis 10. Stelle nach B(8) um.Warum? Der bekannte Bestand liegt hier am Ende.
Hilfe: Fläche = 2 h · 120 Personen/h.
A10
Schätz-Regler: Zufluss unter einer Kurve
AFB III
Die Zuflussrate eines Tanks ist r(t) = 4√t (L/min) für 0 ≤ t ≤ 4. Schätze die zugeflossene Menge ab — z. B. mit zwei Trapezen.
Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
040
Zwei Trapeze mit r(0) = 0, r(2) ≈ 5,66, r(4) = 8: 2 · (0 + 5,66)/2 + 2 · (5,66 + 8)/2 ≈ 19,3 L. Der Graph ist nach unten gewölbt, Trapeze liegen darunter — der exakte Wert ist etwas größer: 21⅓ L.
Ansatz: Berechne r an den Stellen 0, 2 und 4 und lege Trapeze unter den Graphen.Warum? Das nähert die Fläche gut an.
