Heimspeicher einer Solaranlage
AFB I–IIEin Batteriespeicher enthält um 8 Uhr \(2\,\mathrm{kWh}\). Die Abbildung zeigt seine Laderate \(r\) in kW; \(t\) ist die Zeit in Stunden nach 8 Uhr. Negative Werte bedeuten Entladen.
- Berechnen Sie den Energieinhalt um 14 Uhr.
- Bestimmen Sie den Zeitpunkt mit dem größten Energieinhalt und diesen Wert.
- Ermitteln Sie den Energieinhalt um 20 Uhr.
- Beurteilen Sie das Modell, wenn der Speicher nur \(18\,\mathrm{kWh}\) fasst.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(2+\tfrac12\cdot2\cdot3+4\cdot3=2+3+12=17\,\mathrm{kWh}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Auf \([6;8]\): \(r(t)=3-2(t-6)\), Nullstelle \(t=7{,}5\), also 15:30 Uhr. Zusätzlich \(\tfrac12\cdot1{,}5\cdot3=2{,}25\), Maximum \(19{,}25\,\mathrm{kWh}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(19{,}25-\tfrac12\cdot0{,}5\cdot1-4\cdot1=19{,}25-0{,}25-4=15\,\mathrm{kWh}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Ab 14 Uhr kommt bis zur Zeit \(s\) (in h nach 14 Uhr) die Energie \(3s-s^2\) hinzu; \(3s-s^2=1\Rightarrow s=\tfrac{3-\sqrt5}2\approx0{,}38\,\mathrm h\). Gegen 14:23 Uhr ist der Speicher voll, danach kann er nichts mehr aufnehmen — das Modell überschätzt dann den Inhalt (maximal 18 statt 19,25 kWh); der Überschuss muss ins Netz. Vollständig: Zeitpunkt plus Folgerung für das Modell.
Leihräder an der Station
AFB II–IIIAn einer Leihradstation stehen um 7 Uhr 40 Räder. Die Tabelle zeigt (vereinfacht als konstant angenommen) die Ausleih- und Rückgaberaten.
| Zeit | Ausleihen pro Stunde | Rückgaben pro Stunde |
|---|---|---|
| 7–9 Uhr | 20 | 4 |
| 9–15 Uhr | 6 | 10 |
| 15–17 Uhr | 16 | 10 |
| 17–18 Uhr | 16 | 30 |
- Stellen Sie die Änderungsrate des Bestands für jeden Zeitabschnitt auf und bestimmen Sie den Bestand um 9 Uhr.
- Untersuchen Sie, wann zwischen 7 und 18 Uhr die wenigsten Räder an der Station stehen.
- Berechnen Sie den Bestand um 18 Uhr.
- Entwickeln Sie eine Empfehlung, wie viele Räder morgens mindestens bereitstehen müssen, damit die Station nie leer ist, und nehmen Sie kritisch Stellung zur Aussagekraft der Rechnung.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Raten: \(-16\), \(+4\), \(-6\), \(+14\) Räder pro Stunde. Um 9 Uhr: \(40-2\cdot16=8\) Räder.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Wechsel − → + bei 9 Uhr (8 Räder) und bei 17 Uhr: \(8+6\cdot4-2\cdot6=20\) Räder. Minimum um 9 Uhr mit 8 Rädern.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(20+14=34\) Räder.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Der Bestand sinkt bis 9 Uhr um 32; morgens müssen also mindestens 32 Räder da sein (besser mit Reserve). Kritik: Die Raten sind Mittelwerte; in Wirklichkeit schwanken sie mit Wetter und Wochentag, Spitzen innerhalb der Stunde bleiben unsichtbar. Ein Puffer von einigen Rädern ist sinnvoll.