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Bestände rekonstruieren

Niemand hat in den Tank geschaut — wer aber die Zuflussrate und den Anfangsbestand kennt, weiß trotzdem zu jeder Minute, wie viel Wasser darin ist.

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Konstante Rate: ein Rechteck

Aus der Änderungsrate und dem Anfangsbestand lässt sich der Bestand berechnen — am einfachsten bei konstanter Rate.

  • Konstante Rate:\(r(t)=c\) — in jeder Minute fließt gleich viel zu.
  • Änderung:\(\Delta B=r\cdot\Delta t\), also Rate mal Dauer.
  • Rechteck:unter dem Graphen von \(r\) mit Breite \(\Delta t\) und Höhe \(r\) — sein Inhalt ist genau \(\Delta B\).
  • Einheiten:\(\tfrac{\text{L}}{\text{min}}\cdot\text{min}=\text{L}\) — die Fläche hat die Einheit des Bestands.

Herleitung:

\(B(t)-B(0)=\Delta B\)
Rate · Dauer
Änderung des Bestands im Zeitraum von \(0\) bis \(t\).
\(B(t)-B(0)=r\cdot t\)
\(+\,B(0)\)
Die Rate ist konstant, die Dauer ist \(t\).
\(B(t)=B(0)+r\cdot t\)
Ergebnis
Anfangsbestand plus Rechteckfläche.
Merke

\(\Delta B=r\cdot\Delta t\) = Inhalt der Rechteckfläche unter dem Graphen von \(r\)

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Mehrere Abschnitte, Zu- und Abfluss

Meist ändert sich die Rate — dann wird abschnittsweise gerechnet.

  • Stückweise konstant:je Abschnitt ein Rechteck, die Änderungen werden addiert.
  • Linearer Abschnitt:die Fläche ist ein Dreieck \(\tfrac12\cdot g\cdot h\) oder ein Trapez \(\tfrac{a+c}{2}\cdot h\).
  • Zufluss:\(r>0\) — die Fläche über der \(t\)-Achse zählt positiv.
  • Abfluss:\(r<0\) — die Fläche unter der \(t\)-Achse zählt negativ.
  • Orientierte Fläche:Flächeninhalt mit Vorzeichen, hier \(A_1, A_2, \dots\)

Herleitung:

\(B(t_3)=B(t_2)+A_3\)
\(B(t_2)\) ersetzen
Bestand am Ende des dritten Abschnitts: Bestand an seinem Anfang plus seine orientierte Fläche.
\(B(t_3)=B(t_1)+A_2+A_3\)
\(B(t_1)\) ersetzen
Ebenso gilt \(B(t_2)=B(t_1)+A_2\).
\(B(t_3)=B(0)+A_1+A_2+A_3\)
Ergebnis
Mit \(B(t_1)=B(0)+A_1\); Flächen unter der \(t\)-Achse gehen negativ ein.

Wähle ein Profil und starte die Simulation. Beobachte, wie unter dem Ratengraphen Minute für Minute blaue oder rote Fläche hinzukommt und der Tank im gleichen Maß steigt oder sinkt — verändere auch den Anfangsbestand.

Wassertank-Simulation

Halte fest: Solange blaue Fläche hinzukommt, steigt der Bestand, solange rote hinzukommt, sinkt er — um genau den Flächeninhalt.

Merke

\(B(t)=B(0)+A_1+A_2+\dots\) (orientierte Flächen zwischen dem Graphen von \(r\) und der \(t\)-Achse von \(0\) bis \(t\))

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Allgemeine Hinweise

Flächen unter der Achse abziehen

Abfluss verringert den Bestand. Wer nur die Flächeninhalte addiert, ohne das Vorzeichen zu beachten, erhält einen zu großen Bestand.

Anfangsbestand nicht vergessen

Die Flächen liefern nur die Änderung \(B(t)-B(0)\). Erst mit \(B(0)\) kennt man den Bestand selbst.

Einheiten zuerst angleichen

Rate in \(\tfrac{\text{L}}{\text{min}}\), Zeit in \(\text{min}\) — dann ist die Fläche in \(\text{L}\). Steht die Zeit in Stunden, vorher umrechnen.

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