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Übungen: Änderung und Bestand

Wer die Rate lesen kann, weiß, wann das Becken am vollsten ist — ohne es je zu sehen.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Was verrät der Ratengraph?
AFB I

Die Zuflussrate r (in m³/h) eines Regenbeckens ist auf [0; 3] positiv, auf [3; 8] negativ und bei t = 1,5 am größten. Gib alle Aussagen an, die sicher stimmen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Die Rate sagt, wie schnell sich der Bestand ändert, nicht wie groß er ist. Ihr Maximum bei t = 1,5 ist die Stelle des stärksten Anstiegs (Wendestelle des Bestands), ihre Nullstelle mit Vorzeichenwechsel + → − das Maximum des Bestands.
Frage: Was bedeutet r > 0, was r < 0 für die Wassermenge?Warum? r ist die Ableitung des Bestands.
Hilfe: Wo r von + nach − wechselt, hört das Füllen auf und das Leeren beginnt.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen über Rate und Bestand. Entscheide jeweils, ob sie stimmt.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merke: Rate = Ableitung des Bestands. Vorzeichen der Rate ⇒ Monotonie des Bestands, Extrema der Rate ⇒ Wendestellen des Bestands.
Frage: Übersetze jede Aussage in die Sprache der Ableitung: Die Rate ist B′.Warum? Dann greifen die bekannten Regeln der Kurvendiskussion.
Hilfe: Vorzeichen von B′ ↔ Monotonie von B, Extrema von B′ ↔ Wendestellen von B.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Beschreibe den Zusammenhang von Rate und Bestand mit Fachbegriffen — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Die Änderungsrate r ist die des Bestands B. Ist r positiv, der Bestand. Wechselt r bei t₀ von + nach −, hat B dort ein . Hat r bei t₁ ein Maximum, hat B dort eine . Um den Bestand selbst anzugeben, braucht man zusätzlich den .

„Nullstelle“ bleibt übrig: Eine Nullstelle der Rate ist keine Nullstelle des Bestands — dort ändert sich B nur gerade nicht.
Idee: Denke an Weg und Geschwindigkeit: Die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Weges.Warum? Rate und Bestand verhalten sich genauso.
Hilfe: Extremstellen der Ableitung sind Wendestellen der Funktion.
A4
Was passiert mit dem Bestand?
AFB II

Ordne jede Beobachtung am Ratengraphen der passenden Folge für den Bestand zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1B hat bei t = 4 ein Maximum
2B hat bei t = 4 ein Minimum
3B hat bei t = 4 eine Wendestelle
Das Vorzeichen der Rate entscheidet über Maximum oder Minimum; eine Extremstelle der Rate zeigt eine Wendestelle des Bestands — ganz gleich, ob die Rate dort positiv oder negativ ist.
Ansatz: Frage bei jeder Karte: Geht es um das Vorzeichen der Rate oder um ihre Extremstelle?Warum? Das entscheidet zwischen Extremstelle und Wendestelle des Bestands.
Hilfe: Minus nach plus: erst Abnahme, dann Zunahme — also ein Tiefpunkt.
A5
Dreiecksfläche als Zuwachs
AFB II

Die Zuflussrate eines Tanks steigt in 4 Stunden gleichmäßig von 0 auf 6 m³/h. Berechne, wie viel Wasser in diesen 4 Stunden zufließt.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Die Fläche unter dem Ratengraphen ist ein Dreieck: ½ · 4 h · 6 m³/h = 12 m³. Wer 4 · 6 = 24 rechnet, tut so, als sei die Rate die ganze Zeit 6 m³/h gewesen.
Ansatz: Die Zuflussmenge ist die Fläche unter dem Ratengraphen.Warum? Rate mal Zeit ergibt Menge — bei veränderlicher Rate wird daraus eine Fläche.
Hilfe: Der Graph ist eine Strecke von (0|0) nach (4|6) — die Fläche ist ein Dreieck.
A6
Vom Ratengraphen zum Bestandsgraphen
AFB II

Bringe die Arbeitsschritte in eine sinnvolle Reihenfolge, um aus dem Ratengraphen den Bestandsgraphen zu skizzieren.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Anfangsbestand B(0) als Startpunkt eintragen
2Nullstellen der Rate mit Vorzeichenwechsel suchen: Extremstellen von B
3Extremstellen der Rate suchen: Wendestellen von B
4Flächen zwischen Nullstellen abschätzen: Höhenunterschiede von B
5Bestandsgraph durch die Punkte glatt skizzieren
Häufig wird zu früh gezeichnet: Erst wenn Extremstellen, Wendestellen und die ungefähren Höhen feststehen, wird der Graph skizziert.
Frage: Was brauchst du zuerst, um überhaupt zu wissen, auf welcher Höhe der Graph beginnt?Warum? Ohne Startpunkt hängt der Bestandsgraph „in der Luft“.
Hilfe: Erst die markanten Stellen, dann die Höhen, zuletzt die Linie.
A7
Ratengraph und Bestandsgraph
AFB II

Verbinde jede Form der Rate mit dem passenden Verhalten des Bestands.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Kurzform: Die Höhe der Rate ist die Steigung des Bestands. Steigt die Rate, wird der Bestandsgraph steiler — er ist linksgekrümmt.
Ansatz: Lies die Rate als Steigung des Bestandsgraphen.Warum? r = B′.
Hilfe: Eine wachsende positive Steigung ergibt eine Linkskurve, eine schrumpfende eine Rechtskurve.
A8
Fehlersuche im Heft
AFB III Mix

Leonie hat den Graphen einer Abflussrate beschrieben. Überprüfe ihre sechs Sätze und markiere die drei falschen.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Der häufigste Fehler: „Rate fällt“ mit „Bestand fällt“ verwechseln. Über Zu- oder Abnahme entscheidet das Vorzeichen der Rate, nicht ihre Richtung.
Strategie: Übersetze jeden Satz: Welche Eigenschaft von B′ wird beschrieben — Vorzeichen, Nullstelle oder Extremstelle?Warum? Jede dieser Eigenschaften hat genau eine Folge für B.
Hilfe: Fallend und negativ sind zwei verschiedene Dinge.
A9
Trickaufgabe — Hin und zurück
AFB III Trick

Auf ein Konto fließen drei Monate lang 300 € pro Monat, danach sechs Monate lang jeweils 150 € pro Monat ab. Zu Beginn liegen 200 € auf dem Konto. Bestimme den Kontostand nach 9 Monaten.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
900 € kommen hinzu, 900 € gehen ab — die orientierten Flächen heben sich auf. Der Kontostand ist wieder beim Anfangsbestand. Die Falle: Wer die Flächen als Beträge addiert, erhält 2 000 €.
Ansatz: Zufluss = Fläche über der Achse, Abfluss = Fläche darunter.Warum? Die Gesamtänderung ist die Summe der orientierten Flächen.
Hilfe: 3 · 300 = ? und 6 · 150 = ?
A10
Was passiert mit dem Endbestand?
AFB III

Eine Zuflussrate auf [0; 10] (in h) führt zu einer Gesamtänderung von +20 m³. Beurteile ohne Rechnung, wie sich der Bestand B(10) bei jeder Änderung verschiebt.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = sinkt um mehr als 10 m³, 2 = sinkt um höchstens 10 m³, 3 = bleibt gleich, 4 = steigt um höchstens 10 m³, 5 = steigt um mehr als 10 m³. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = sinkt um mehr als 10 m³5 = steigt um mehr als 10 m³
Die Rate wird überall um 2 m³/h erhöht.
Die Rate wird an der t-Achse gespiegelt.
Der Anfangsbestand wird um 5 m³ größer.
Die ganze Rate verläuft 1 h später, bleibt aber vollständig in [0; 10].
Die Rate wird überall halbiert.
Jede Änderung wirkt über die Fläche: +2 m³/h über 10 h sind +20 m³, Spiegeln macht aus +20 m³ ein −20 m³ (also 40 m³ weniger), Halbieren nur noch +10 m³. Eine Verschiebung ändert die Fläche nicht.
Ansatz: Frage bei jeder Zeile: Wie ändert sich die Fläche unter der Rate?Warum? B(10) = B(0) + Gesamtänderung.
Hilfe: Ein Rechteck von 10 h Breite und 2 m³/h Höhe hat die Fläche 20 m³.