Speichersee im Jahreslauf
AFB I–IIDie Zuflussrate eines Speichersees wird für \(0\le t\le8\) (\(t\) in Monaten) durch \(r(t)=-0{,}5t^2+3t\) beschrieben, \(r(t)\) in Millionen m³ pro Monat. Zu Beginn enthält der See 20 Mio. m³ Wasser.
- Entnehmen Sie der Abbildung, in welchem Zeitraum die Wassermenge zunimmt und wann sie am schnellsten zunimmt.
- Begründen Sie, dass die Wassermenge bei \(t=6\) maximal ist.
- Skizzieren Sie qualitativ den Graphen der Wassermenge \(W\) für \(0\le t\le8\) und markieren Sie Hochpunkt und Wendepunkt.
- Interpretieren Sie die Aussage „\(r(7)=-3{,}5\)“ im Sachzusammenhang.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Zunahme für \(0<t<6\), denn dort ist \(r(t)>0\). Am schnellsten nimmt die Wassermenge bei \(t=3\) zu, wo \(r\) sein Maximum \(4{,}5\) hat.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(r(6)=-18+18=0\). Für \(t<6\) ist \(r>0\) (Wasser steigt), für \(t>6\) ist \(r<0\) (Wasser sinkt). Der Vorzeichenwechsel von + nach − zeigt ein Maximum der Wassermenge bei \(t=6\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Start bei \(W(0)=20\); \(W\) steigt linksgekrümmt bis \(t=3\) (Wendepunkt, stärkster Anstieg), danach rechtsgekrümmt bis zum Hochpunkt bei \(t=6\); anschließend fällt \(W\) bis \(t=8\). Vollständig ist die Skizze, wenn Hochpunkt und Wendepunkt an den richtigen Stellen liegen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Im siebten Monat fließt mehr Wasser ab als zu: Die Wassermenge nimmt zu diesem Zeitpunkt um etwa 3,5 Mio. m³ pro Monat ab. Über die Wassermenge selbst sagt der Wert nichts aus.
Besucherstrom im Museum
AFB II–IIIEin Museum öffnet um 9 Uhr, vorher ist es leer. Die Abbildung zeigt die Änderungsrate \(r\) der Besucherzahl (Ankünfte minus Abgänge) in Personen pro Stunde, \(t\) in Stunden nach 9 Uhr. Das Museum schließt um 17 Uhr.
- Ermitteln Sie die Besucherzahl um 12 Uhr.
- Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die meisten Personen im Museum sind, und diese Anzahl.
- Überprüfen Sie, ob um 17 Uhr alle Besucher das Museum verlassen haben.
- Beurteilen Sie, ob die Museumsleitung das Modell so ändern kann, dass um 17 Uhr niemand mehr im Haus ist, wenn sie nur die Abgangsrate ab 14 Uhr ändert. Geben Sie einen passenden konstanten Wert an.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Dreieck \(\tfrac12\cdot1\cdot120=60\), Rechteck \(2\cdot120=240\). Um 12 Uhr sind \(60+240=300\) Personen im Museum.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Auf \([3;5]\) gilt \(r(t)=120-100(t-3)\); Nullstelle bei \(t=4{,}2\), also um 13:12 Uhr. Zusätzliche Fläche von 3 bis 4,2: \(\tfrac12\cdot1{,}2\cdot120=72\). Maximal \(300+72=372\) Personen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Von 4,2 bis 5: Dreieck \(\tfrac12\cdot0{,}8\cdot(-80)=-32\); von 5 bis 8: \(3\cdot(-80)=-240\). Um 17 Uhr: \(372-32-240=100\) Personen. Das Museum ist nicht leer — die Modellrate passt nicht zur Schließzeit.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Bis 14 Uhr (\(t=5\)): \(372-32=340\) Personen. Diese müssen in 3 Stunden gehen: konstante Rate \(-\tfrac{340}{3}\approx-113\) Personen pro Stunde. Möglich, wenn der Abgang deutlich stärker ist als im Modell; realistisch wäre eher ein allmählich stärker werdender Abgang. Vollständig: Rechnung plus Urteil zur Plausibilität.