Änderung und Bestand

Die Wassermenge in einem Stausee ändert sich ständig — Zufluss und Abfluss bestimmen, wie schnell.

• Bestand:\(B(t)\) — die Wassermenge im See zum Zeitpunkt \(t\), z. B. in \(1000\,\text{m}^3\).
• Mittlere Änderungsrate:\(\dfrac{B(t+h)-B(t)}{h}\) — Änderung pro Zeit im Zeitraum von \(t\) bis \(t+h\).
• Momentane Änderungsrate:\(r(t)=B'(t)\) — Grenzwert für \(h\to0\), die Steigung des Bestandsgraphen.
• Einheit:Einheit des Bestands pro Zeiteinheit, z. B. \(1000\,\tfrac{\text{m}^3}{\text{h}}\).
• Vorzeichen:\(r(t)>0\): der Zufluss überwiegt; \(r(t)<0\): der Abfluss überwiegt.

Herleitung:

Weil \(r=B'\) ist, verrät der Graph von \(r\), wie sich der Bestand verhält.

• \(r>0\):\(B\) steigt.
• \(r<0\):\(B\) fällt.
• VZW von + nach −:Nullstelle von \(r\) ⇒ Maximum von \(B\).
• VZW von − nach +:Nullstelle von \(r\) ⇒ Minimum von \(B\).
• Extremstelle von \(r\):Wendestelle von \(B\) — dort ändert sich der Bestand am schnellsten.
• Rand:der größte oder kleinste Bestand kann auch am Anfang oder Ende des Zeitraums liegen.
• Anfangsbestand:\(r\) legt nur die Form von \(B\) fest — die Höhe erst \(B(0)\).

Schau dir nur den Graphen der Änderungsrate an. Tippe zuerst: Ziehe den grünen Marker auf der unteren Zeitachse dorthin, wo der Bestand am größten bzw. am kleinsten ist, und entscheide, ob am Ende mehr oder weniger Wasser im See ist als am Anfang — erst dann „Prüfen“.

Halte fest: Der größte Bestand liegt dort, wo \(r\) von + nach − wechselt (oder am Rand) — nicht dort, wo \(r\) am größten ist.