Analytische Geometrie: Zusammenfassung – Mathe Klasse 13

1

Vektoren im Raum

Punkte als Koordinatentripel, Vektoren als Verschiebungen — und Matrizen, die den Raum aufs Papier bringen.

Verbindungsvektor

Spitze minus Fuß, zeilenweise.

AB = b − a

Rechnen

Addition zeilenweise, Vielfache strecken.

r · a = (ra₁ | ra₂ | ra₃)

Kollinear

Ein Faktor für alle drei Zeilen.

b = r · a

Projektion

Spalten = Bilder der Einheitsvektoren.

p′ = M · p

Schrägbild-Matrix

M = ( −0,5 1 0 ; −0,5 0 1 )

x₁ eine Kästchendiagonale nach vorn, x₂ nach rechts, x₃ nach oben. Schatten in der x₁x₂-Ebene: dritte Spalte (−v₁/v₃ | −v₂/v₃ | 0).

Das Bild ist mehrdeutig

Alle Punkte t · (2 | 1 | 1) landen im Schrägbild auf O — Koordinaten nie aus dem Bild ablesen.

2

Geraden, Ebenen und Skalarprodukt

Parameterform für Geraden und Ebenen, das Skalarprodukt für Längen, Winkel und Normalenvektoren.

Gerade

Stützvektor plus Vielfache der Richtung.

g: x = p + t · u

Ebene (Parameter)

Zwei nicht kollineare Spannvektoren.

E: x = p + r · u + s · v

Skalarprodukt

Eine Zahl; null heißt senkrecht.

a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a| |b| cos α

Betrag

Länge über das Skalarprodukt.

|a| = √(a · a)

Normalenform

PX steht senkrecht auf n.

(x − p) · n = 0

Koordinatenform

Koeffizienten = Normalenvektor.

n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d, d = n · p

Parameter → Koordinaten

n · u = 0, n · v = 0, d = n · p

Eine Koordinate von n frei wählen (≠ 0); Kontrolle mit crossP bzw. CrossP(. Spurpunkte: zwei Koordinaten null setzen.

Normalenvektor ist nicht eindeutig

Jedes Vielfache r · n (r ≠ 0) ist wieder Normalenvektor — Gleichungen dürfen gekürzt werden.

3

Lagen, Winkel und Abstände

Einsetzen entscheidet die Lage, Normalen- und Richtungsvektoren liefern Winkel, das Lot den Abstand.

Gerade–Ebene

Einsetzen: eine Lösung / 0 = 0 / Widerspruch.

Schnittpunkt / g ⊂ E / g ∥ E

Ebene–Ebene

Normalen kollinear: parallel oder identisch.

sonst Schnittgerade (eine Variable = t)

Schnittwinkel

Betrag macht den Winkel spitz.

cos φ = |n₁·n₂| / (|n₁| |n₂|), Gerade–Ebene: sin φ

Punkt–Gerade

Laufender Punkt, Skalarprodukt null.

QXₜ · u = 0 ⇒ F, d = |QF|

Punkt–Ebene

Hesse: durch |n| teilen.

d = |n₁q₁ + n₂q₂ + n₃q₃ − d| / |n|

Windschief

Hilfsebene durch g, parallel zu h.

d = |(q − p) · n| / |n|, n ⊥ u, v

Abstand Punkt–Ebene

d(Q,E) = |n · q − d| / |n|

Parallele Gerade oder Ebene: einen beliebigen Punkt einsetzen. Lotfußpunkt über ℓ: x = q + t · n.

Sinus oder Kosinus?

Zwischen zwei Richtungen oder zwei Normalen: Kosinus. Zwischen Richtung und Normale (Gerade–Ebene): Sinus.

4

Die Regeln, an denen die Punkte hängen

Diese drei Stellen kosten in der Klausur am häufigsten Punkte.

Verfahren nennen

„Lotfußpunktverfahren“, „Hesse-Form“, „Hilfsebene“ — wer das Verfahren benennt und die Schritte ordnet, sammelt auch bei Rechenfehlern Punkte.

Proben einbauen

n · u = 0 und n · v = 0 prüfen, Schnittpunkte in beide Gleichungen einsetzen, Lotfußpunkt auf dem Objekt kontrollieren.

Ergebnis deuten

„Die Ebenen schneiden sich unter 48,2°“, „der Abstand beträgt 6 m“ — mit Einheit aus dem Sachkontext und einem Satz.