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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Kollinear zu (3 | −6 | 1,5)?
AFB IWelche Vektoren sind kollinear zu \((3|{-6}|1{,}5)\)?
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Der Nullvektor ist zu jedem Vektor kollinear (Faktor 0). Bei (2 | −4 | 2) passt der Faktor ⅔ nur in den ersten beiden Zeilen.
Ansatz: Suche für jede Zeile den Faktor r.
Weiter: Ein einziger abweichender Faktor genügt für „nicht kollinear“.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IFünf Rechenregeln für Vektoren.
5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Addition ist vertauschbar, Subtraktion nicht — das sieht man an den beiden Diagonalen des Parallelogramms.
Ansatz: Rechne mit einfachen Beispielvektoren nach.
Weiter: Denke an das Parallelogramm aus a und b.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB ISetze die Fachbegriffe ein — ein Wort bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Beim Addieren setzt man den des zweiten Pfeils an die des ersten. Der Vektor −a heißt von a. Ist b ein von a, so heißen a und b .
„Orthogonal“ bedeutet senkrecht — das kommt später mit dem Skalarprodukt.
Ansatz: Beim Aneinanderhängen: Wo beginnt der zweite Pfeil?
Weiter: Kollinear heißt: gleiche oder entgegengesetzte Richtung.
A4
Paare einordnen
AFB IIOrdne die Vektorpaare ein.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1kollinear, gleiche Richtung
2kollinear, Gegenrichtung
3nicht kollinear
Das Vorzeichen des Faktors entscheidet über die Richtung. Eine Null muss an derselben Stelle stehen, sonst ist das Paar nicht kollinear.
Ansatz: Berechne für jedes Paar den Faktor der ersten von null verschiedenen Zeile.
Weiter: Stimmt er in allen Zeilen, ist das Paar kollinear.
A5
Linearkombination
AFB IIBerechne die \(x_3\)-Koordinate von \(3\cdot(2|{-1}|4)-2\cdot(1|3|{-2})\).
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(3\cdot4-2\cdot(-2)=12+4=16\); vollständig: \((4|{-9}|16)\).
Ansatz: Erst jeden Vektor mit seinem Faktor multiplizieren.
Weiter: Minus mal minus ergibt plus.
A6
Kollinearität prüfen
AFB IIMixBringe die Schritte der Kollinearitätsprüfung in die richtige Reihenfolge.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Ansatz b = r · a aufschreiben
2In jeder Zeile die Gleichung bᵢ = r · aᵢ notieren
3Zeilen mit aᵢ = 0 gesondert prüfen
4Aus einer Zeile mit aᵢ ≠ 0 den Faktor r bestimmen
5r in alle übrigen Zeilen einsetzen
6Antwortsatz: kollinear oder nicht
Nullzeilen werden oft vergessen: Ist aᵢ = 0, muss auch bᵢ = 0 sein — sonst gibt es kein passendes r.
Ansatz: Womit beginnt jede Prüfung?
Weiter: Erst r bestimmen, dann in allen Zeilen testen.
A7
Rechenkette: Faktoren
AFB IIGegeben sind \(\vec a=(4|{-2}|6)\) und \(\vec b=(-6|3|{-9})\).
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- Faktor r mit b = r · a
- x₁-Koordinate von c = a + b
- Faktor s mit c = s · a
- x₃-Koordinate von 2a − b
b = −1,5 · a und c = a + b = −0,5 · a = (−2 | 1 | −3). 2a − b = (14 | −7 | 21).
Ansatz: Teile zeilenweise b durch a.
Weiter: Summen kollinearer Vektoren sind wieder kollinear.
A8
Term und Ergebnis
AFB IIIEs ist \(\vec a=(1|2|0)\) und \(\vec b=(3|{-1}|2)\). Ordne zu.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
a − b und b − a sind Gegenvektoren: Alle Vorzeichen sind umgedreht.
Ansatz: Rechne jeden Term zeilenweise aus.
Weiter: Achte auf die Vorzeichen bei a − b und b − a.
A9
Fehlersuche mit Nullen
AFB IIITrickSechs Rechnungen — drei sind falsch.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Beim Gegenvektor wechseln alle Vorzeichen — auch die schon negativen.
Ansatz: Prüfe bei Kollinearität jede Zeile einzeln.
Weiter: Beim Gegenvektor wird jedes Vorzeichen umgedreht.
A10
Was macht der Faktor?
AFB IIIDer Vektor \(\vec a\) wird mit dem Faktor \(r\) multipliziert. Wie sieht \(r\cdot\vec a\) im Vergleich zu \(\vec a\) aus?
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = Gegenrichtung, länger, 2 = Gegenrichtung, kürzer, 3 = Nullvektor, 4 = gleiche Richtung, kürzer, 5 = gleiche Richtung, länger. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = Gegenrichtung, länger5 = gleiche Richtung, länger
r = −3
r = 0,4
r = 0
r = −0,5
r = 2,5
r = −1,2
Das Vorzeichen von r entscheidet die Richtung, der Betrag |r| die Länge: |r| größer als 1 streckt, kleiner als 1 staucht.
Ansatz: Zuerst das Vorzeichen ansehen.
Weiter: Dann |r| mit 1 vergleichen.