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Rechnen mit Vektoren

Wind, Thermik und Fluglinien: Verschiebungen addieren sich — und Vielfache verraten, ob Punkte auf einer Linie liegen.

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Segelflug im Wind

AFB I–II

Ein Segelflugzeug würde bei Windstille in einer Stunde um \(\vec v=(40|30|0)\) (in km) versetzt. Der Wind verschiebt es zusätzlich um \(\vec w=(-10|5|0)\) pro Stunde, eine Thermik hebt es um \(\vec t=(0|0|2)\) pro Stunde. Es startet im Punkt \(A(0|0|1)\).

  1. Berechnen Sie die gesamte Verschiebung \(\vec s\) des Flugzeugs in einer Stunde.
  2. Geben Sie die Position des Flugzeugs nach einer halben Stunde an.
  3. Erläutern Sie, warum man die Verschiebungen durch Vektoraddition zusammenfassen darf.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Die drei Verschiebungen wirken gleichzeitig — addieren.
Hinweis zu Aufgabe b)
Nach einer halben Stunde ist die halbe Verschiebung zurückgelegt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Denke an das Aneinanderhängen von Pfeilen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\vec s=\vec v+\vec w+\vec t=(30|35|2)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\vec a+\tfrac12\vec s=(0|0|1)+(15|17{,}5|1)=(15|17{,}5|2)\); das Flugzeug ist dann 2 km hoch.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Jede Wirkung ist eine Verschiebung. Führt man sie nacheinander aus, hängt man die Pfeile aneinander; das Ergebnis hängt nicht von der Reihenfolge ab (\(\vec a+\vec b=\vec b+\vec a\)). Deshalb darf man die gleichzeitig wirkenden Verschiebungen zu einer Summe zusammenfassen.

2

Punkte auf einer Linie

AFB II–III

Gegeben sind die Punkte \(A(1|2|{-1})\), \(B(3|6|3)\) und \(D(4|8|5)\) sowie \(C_t(t|10|7)\) mit \(t\in\mathbb R\).

  1. Überprüfen Sie, ob \(A\), \(B\) und \(D\) auf einer gemeinsamen Geraden liegen.
  2. Bestimmen Sie \(t\) so, dass auch \(C_t\) auf dieser Geraden liegt.
  3. Widerlegen Sie die Aussage: „\((1|0|2)\) und \((2|1|4)\) sind kollinear, weil der Faktor 2 in zwei Zeilen passt.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Vergleiche \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AD}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
\(\overrightarrow{AC_t}=r\cdot\overrightarrow{AB}\): r aus einer Zeile ohne t.
Hinweis zu Aufgabe c)
Was verlangt Kollinearität von allen Zeilen?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\overrightarrow{AB}=(2|4|4)\), \(\overrightarrow{AD}=(3|6|6)=1{,}5\cdot\overrightarrow{AB}\). Die Vektoren sind kollinear und haben den Punkt A gemeinsam — A, B, D liegen auf einer Geraden.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\overrightarrow{AC_t}=(t-1|8|8)\). Aus Zeile 2: \(r=2\); Zeile 3: \(8=2\cdot4\) ✓. Zeile 1: \(t-1=4\Rightarrow t=5\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Kollinearität verlangt einen Faktor für alle drei Zeilen. In der zweiten Zeile müsste \(1=r\cdot0\) gelten — das ist für kein r erfüllt. Die Vektoren sind nicht kollinear.