MINT lernen

Rechnen mit Vektoren

Zwei Verschiebungen hintereinander sind wieder eine Verschiebung — nur welche?

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Pfeile aneinanderhängen

Zwei Verschiebungen nacheinander ergeben wieder eine Verschiebung. Geometrisch hängt man die Pfeile aneinander, rechnerisch addiert man Zeile für Zeile.

  • Aneinanderhängen:den Fuß von \(\vec b\) an die Spitze von \(\vec a\) setzen; \(\vec a+\vec b\) führt vom Fuß von \(\vec a\) zur Spitze von \(\vec b\).
  • Parallelogramm:Setzt man beide Pfeile an denselben Punkt, ist \(\vec a+\vec b\) die Diagonale des aufgespannten Parallelogramms.
  • Koordinatenweise:die Einträge in jeder Zeile addieren — in der Ebene und im Raum gleich.
  • Reihenfolge egal:\(\vec a+\vec b=\vec b+\vec a\); beide Wege im Parallelogramm enden am selben Punkt.

Ziehe die Spitzen von \(\vec a\) und \(\vec b\) (oder wähle sie an und nutze die Pfeiltasten). Vergleiche den Summenpfeil mit der Diagonale — und schalte dann auf \(\vec a-\vec b\) um.

Pfeile aneinanderhängen

Halte fest: Der Summenpfeil landet immer dort, wo man nach \(\vec a\) und danach \(\vec b\) ankommt — seine Einträge sind die Summen der Einträge, egal in welcher Reihenfolge.

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Gegenvektor und Vielfache

Subtrahieren heißt: den Gegenvektor addieren. Vervielfachen streckt einen Pfeil — und zeigt, wann zwei Vektoren parallel sind.

  • Gegenvektor:\(-\vec b\) ist gleich lang wie \(\vec b\), zeigt aber in die Gegenrichtung.
  • Im Parallelogramm:\(\vec a-\vec b\) ist die zweite Diagonale — von der Spitze von \(\vec b\) zur Spitze von \(\vec a\).
  • Nicht vertauschbar:\(\vec b-\vec a=-(\vec a-\vec b)\).
  • Vielfache:\(r\cdot\vec a\) multipliziert jede Zeile mit \(r\): für \(r>0\) gleiche Richtung, für \(r<0\) umgekehrt, \(|r|\) streckt oder staucht.
  • Kollinear:\(\vec b=r\cdot\vec a\) mit einem einzigen \(r\) für alle Zeilen: \((-4|2|{-6})=-2\cdot(2|{-1}|3)\).
  • Nicht kollinear:\((2|4|5)\) und \((1|2|3)\): Faktor 2 in den ersten Zeilen, aber \(5\ne2\cdot3\).

Herleitung:

\(\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b)\)
Gegenvektor
Start: Subtrahieren als Addieren des Gegenvektors.
\(=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-b_1\\-b_2\\-b_3\end{pmatrix}\)
koordinatenweise
Beim Gegenvektor wechselt jedes Vorzeichen.
\(\vec a-\vec b=\begin{pmatrix}a_1-b_1\\a_2-b_2\\a_3-b_3\end{pmatrix}\)
Ergebnis
Speziell: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\) — „Spitze minus Fuß“.
Merke

Rechnen mit Vektoren: \(\vec a\pm\vec b=\begin{pmatrix}a_1\pm b_1\\a_2\pm b_2\\a_3\pm b_3\end{pmatrix}\), \(r\cdot\vec a=\begin{pmatrix}r\,a_1\\r\,a_2\\r\,a_3\end{pmatrix}\); kollinear \(\iff\vec b=r\cdot\vec a\)

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Allgemeine Hinweise

Fuß an Spitze

Beim Addieren kommt der Fuß des zweiten Pfeils an die Spitze des ersten — nicht Spitze an Spitze und nicht Fuß an Fuß.

a − b oder b − a?

Die Differenz zeigt zum Minuenden: \(\vec a-\vec b\) zeigt von der Spitze von \(\vec b\) zur Spitze von \(\vec a\).

Mit GTR und CAS

fx-CG50: RUN-MAT, F3 (MAT/VCT), F6 (M⇔V) — Vektoren als Vct A, Vct B speichern und Vct A + Vct B rechnen. TI-Nspire: [1,2,3]+[4,−1,0] eintippen.

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