Aufgabenblock — AFB III
Begründen, beurteilen, Verfahren entwickeln: Formuliere deine Antwort zuerst selbst, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Begründe: In \(n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=d\) ist \((n_1|n_2|n_3)\) ein Normalenvektor der Ebene.
Hinweis: Nimm zwei Punkte \(X\), \(Y\) der Ebene.
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Musterlösung: Für zwei Punkte \(X,Y\in E\) gilt \(\vec n\cdot\vec x=d\) und \(\vec n\cdot\vec y=d\). Subtrahieren liefert \(\vec n\cdot(\vec y-\vec x)=0\). Da jeder Vektor, der in \(E\) liegt, als \(\overrightarrow{XY}\) geschrieben werden kann, steht \(\vec n\) senkrecht auf allen Richtungen der Ebene.
Zeige: Die Ebenen \(E\colon\vec n\cdot\vec x=d_1\) und \(F\colon\vec n\cdot\vec x=d_2\) mit \(d_1\ne d_2\) haben den Abstand \(\dfrac{|d_1-d_2|}{|\vec n|}\).
Hinweis: Wähle einen beliebigen Punkt \(P\) in \(F\).
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Musterlösung: Beide Ebenen haben denselben Normalenvektor, sind also parallel; wegen \(d_1\ne d_2\) sind sie verschieden. Für \(P\in F\) gilt \(\vec n\cdot\vec p=d_2\), also \(d(P,E)=\dfrac{|\vec n\cdot\vec p-d_1|}{|\vec n|}=\dfrac{|d_2-d_1|}{|\vec n|}\) — unabhängig von der Wahl von \(P\).
Ein Schüler behauptet: „Der Abstand von \(Q\) zur Geraden \(g\colon\vec x=\vec p+t\vec u\) ist \(|\overrightarrow{PQ}|\).“ Beurteile die Aussage.
Hinweis: Wann ist \(P\) selbst der Lotfußpunkt?
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: \(g\) ist die \(x_1\)-Achse mit Stützpunkt \(O\), \(Q(3|4|0)\). Dann ist \(|\overrightarrow{OQ}|=5\), der Lotfußpunkt ist aber \((3|0|0)\) und der Abstand 4. Richtig ist die Aussage nur, wenn \(\overrightarrow{PQ}\cdot\vec u=0\) gilt, \(P\) also zufällig der Lotfußpunkt ist; sonst ist \(|\overrightarrow{PQ}|\) nur eine obere Schranke.
Entwickle ein Verfahren, mit dem man einen Punkt \(Q\) an einer Ebene \(E\colon\vec n\cdot\vec x=d\) spiegelt, und gib eine Formel für \(\vec q^{\prime}\) an.
Hinweis: Der Lotfußpunkt ist der Mittelpunkt von \(Q\) und \(Q^{\prime}\).
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Musterlösung: 1. Lotgerade \(\ell\colon\vec x=\vec q+t\,\vec n\). 2. Einsetzen in \(E\) liefert \(t_F=\dfrac{d-\vec n\cdot\vec q}{|\vec n|^2}\), Lotfußpunkt \(F\). 3. \(F\) ist Mittelpunkt von \(QQ^{\prime}\), also \(\vec q^{\prime}=\vec q+2t_F\,\vec n\). Probe: \(\vec n\cdot\vec q^{\prime}=\vec n\cdot\vec q+2(d-\vec n\cdot\vec q)=2d-\vec n\cdot\vec q\) — der Mittelpunkt liegt in \(E\).
Begründe, dass die Schrägbild-Projektion \(M=\begin{pmatrix}-0{,}5&1&0\\-0{,}5&0&1\end{pmatrix}\) nicht umkehrbar ist, und gib alle Raumpunkte an, die auf den Ursprung abgebildet werden.
Hinweis: Löse \(M\cdot\vec p=\vec 0\).
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Musterlösung: Aus \(M\cdot\vec p=\vec 0\) folgt \(p_2=p_3=\tfrac12p_1\), also alle Punkte \(t\cdot(2|1|1)\). Weil z. B. \(O\) und \((2|1|1)\) dasselbe Bild haben, lässt sich aus dem Bild nicht auf den Raumpunkt zurückschließen. Allgemein bilden 3 Koordinaten auf 2 ab — eine Richtung geht immer verloren.
Erläutere, warum man für den Schnittwinkel zweier Ebenen den Betrag \(|\vec n_1\cdot\vec n_2|\) verwendet.
Hinweis: Ersetze \(\vec n_2\) durch \(-\vec n_2\).
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Musterlösung: Zu jeder Ebene gibt es die Normalenvektoren \(\vec n\) und \(-\vec n\). Je nach Wahl schließen die Normalen \(\alpha\) oder \(180^\circ-\alpha\) ein, das Skalarprodukt wechselt dabei das Vorzeichen. Der Schnittwinkel ist der kleinere der beiden Winkel; \(\cos\varphi=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}\ge0\) liefert automatisch \(0^\circ\le\varphi\le90^\circ\).
Untersuche die Ebenen \(E_a\colon x_1+a\,x_2+x_3=2\) (\(a\in\mathbb R\)). Zeige, dass alle eine gemeinsame Gerade enthalten.
Hinweis: Welche Punkte erfüllen die Gleichung unabhängig von \(a\)?
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Musterlösung: Für \(x_2=0\) fällt \(a\) weg, es bleibt \(x_1+x_3=2\). Alle Punkte \(\vec x=(2|0|0)+t\,(-1|0|1)\) erfüllen das. Probe: \((2-t)+a\cdot0+t=2\) für alle \(a\) und \(t\). Also enthält jede Ebene der Schar diese Gerade (Trägergerade); die Ebenen drehen sich um sie.
„Ist \(\vec u\cdot\vec n=0\), so liegt die Gerade \(g\) in der Ebene \(E\).“ Nimm Stellung.
Hinweis: Denke an eine Gerade oberhalb eines Tisches.
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Musterlösung: Die Aussage ist unvollständig. \(\vec u\cdot\vec n=0\) bedeutet nur, dass die Richtung von \(g\) parallel zu \(E\) ist. Liegt der Stützpunkt in \(E\), liegt \(g\) ganz in \(E\); sonst ist \(g\) echt parallel. Beispiel: \(E\colon x_3=0\), \(g\colon\vec x=(0|0|1)+t\,(1|0|0)\) — \(\vec u\cdot\vec n=0\), aber \(g\) liegt eine Einheit über \(E\).
Begründe, warum der Abstand windschiefer Geraden \(g\), \(h\) gleich dem Abstand eines beliebigen Punkts \(Q\in h\) zur Hilfsebene \(H\) ist, die \(g\) enthält und parallel zu \(h\) ist.
Hinweis: Wie liegt \(h\) zu \(H\)?
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Musterlösung: \(H\) enthält \(g\), und ihr Normalenvektor steht senkrecht auf \(\vec u\) und \(\vec v\). Also ist \(h\) parallel zu \(H\), und alle Punkte von \(h\) haben denselben Abstand \(\delta\) zu \(H\). Keine Verbindung von \(h\) zu \(g\subset H\) kann kürzer als \(\delta\) sein. Das gemeinsame Lot erreicht genau \(\delta\) — also ist \(d(g,h)=d(Q,H)\).
Zeige: \(|\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2\) gilt genau dann, wenn \(\vec a\perp\vec b\) (für \(\vec a,\vec b\ne\vec 0\)).
Hinweis: \(|\vec v|^2=\vec v\cdot\vec v\).
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Musterlösung: \(|\vec a+\vec b|^2=(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a+\vec b)=|\vec a|^2+2\,\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2\). Die Gleichung \(|\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2\) gilt also genau dann, wenn \(2\,\vec a\cdot\vec b=0\), d. h. \(\vec a\perp\vec b\). Das ist der Satz des Pythagoras samt Umkehrung im Parallelogramm.