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Übung — AFB II (Zusammenhänge herstellen)

Zehn Aufgaben, in denen mehrere Schritte zusammenkommen — Lotfußpunkte, Schnittgeraden, Schatten und Pyramiden.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Aufgaben, in denen mehrere Verfahren zusammenkommen. Drei gestufte Tipps helfen beim Ansatz.

A1
Rechtwinkliges Dreieck
AFB II

Gegeben ist das Dreieck \(A(1|0|2)\), \(B(3|2|3)\), \(C(0|2|0)\).

a) Berechne \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\). b) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

FE
Ansatz: Rechter Winkel mit dem Skalarprodukt suchen, dann \(A=\tfrac12\cdot\) Kathete · Kathete.
Rechenweg: \(\overrightarrow{AB}=(2|2|1)\), \(\overrightarrow{AC}=(-1|2|{-2})\), beide haben die Länge 3.
Lösung: a) 0 b) 4,5
Vollständige Lösung
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-2+4-2=0\): rechter Winkel bei \(A\). \(|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=3\), also \(A=\tfrac12\cdot3\cdot3=4{,}5\) FE.
A2
Ebene durch drei Punkte
AFB II

Die Ebene \(E\) geht durch \(A(1|0|1)\), \(B(2|1|1)\) und \(C(1|2|3)\).

Bestimme eine Koordinatengleichung \(x_1+n_2x_2+n_3x_3=d\). a) Gib \(n_2\) an. b) Gib \(d\) an.

Ansatz: Spannvektoren \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) bilden, \(\vec n\) senkrecht zu beiden.
Rechenweg: \(\overrightarrow{AB}=(1|1|0)\), \(\overrightarrow{AC}=(0|2|2)\): \(n_1+n_2=0\), \(2n_2+2n_3=0\).
Lösung: a) −1 b) 2
Vollständige Lösung
Mit \(n_1=1\): \(n_2=-1\), \(n_3=1\), also \(\vec n=(1|{-1}|1)\). \(d=\vec n\cdot\vec a=1-0+1=2\): \(E\colon x_1-x_2+x_3=2\). Probe: \(B\): \(2-1+1=2\) ✓, \(C\): \(1-2+3=2\) ✓.
A3
Parallele Gerade
AFB II

Gegeben sind \(E\colon 2x_1+x_2-x_3=4\) und \(g\colon\vec x=(1|1|0)+t\,(1|{-1}|1)\).

a) Berechne \(\vec u\cdot\vec n\). b) Zeige, dass \(g\parallel E\) ist, und berechne den Abstand von \(g\) zu \(E\) auf zwei Nachkommastellen.

LE
Ansatz: \(\vec u\cdot\vec n=0\) heißt parallel oder enthalten — Punktprobe mit dem Stützpunkt.
Rechenweg: \(\vec u\cdot\vec n=2-1-1=0\); Stützpunkt: \(2+1-0=3\ne4\).
Lösung: a) 0 b) 0,41
Vollständige Lösung
Einsetzen liefert \(2(1+t)+(1-t)-t=3\), also \(3=4\) — Widerspruch, \(g\) ist echt parallel. Abstand = Abstand des Stützpunkts: \(\dfrac{|2+1-0-4|}{\sqrt{6}}=\dfrac1{\sqrt6}\approx0{,}41\) LE.
A4
Schnittgerade
AFB II

Gegeben sind \(E\colon x_1+x_2+x_3=6\) und \(F\colon x_1-x_3=0\).

a) Bestimme einen Richtungsvektor der Schnittgeraden der Form \((1|u_2|1)\) und gib \(u_2\) an. b) Berechne den Schnittwinkel der Ebenen.

°
Ansatz: Eine Variable als Parameter setzen, z. B. \(x_1=t\).
Rechenweg: \(x_3=x_1=t\), \(x_2=6-2t\); Normalen \((1|1|1)\) und \((1|0|{-1})\).
Lösung: a) −2 b) 90°
Vollständige Lösung
\(s\colon\vec x=(0|6|0)+t\,(1|{-2}|1)\). \(\vec n_1\cdot\vec n_2=1+0-1=0\), also stehen die Ebenen senkrecht aufeinander: \(\varphi=90^\circ\).
A5
Abstand Punkt–Gerade
AFB II

Gegeben sind \(g\colon\vec x=(1|2|0)+t\,(2|1|2)\) und \(Q(2|7|1)\).

a) Bestimme den Parameter \(t\) des Lotfußpunkts \(F\). b) Berechne \(d(Q,g)\) auf zwei Nachkommastellen.

LE
Ansatz: \(\overrightarrow{QX_t}\cdot\vec u=0\) für den laufenden Punkt \(X_t\).
Rechenweg: \(\overrightarrow{QX_t}=(2t-1\,|\,t-5\,|\,2t-1)\), Skalarprodukt \(9t-9\).
Lösung: a) 1 b) 4,24
Vollständige Lösung
\(2(2t-1)+(t-5)+2(2t-1)=9t-9=0\Rightarrow t=1\), \(F(3|3|2)\). \(\overrightarrow{QF}=(1|{-4}|1)\), \(d=\sqrt{18}\approx4{,}24\) LE.
A6
Winkel Gerade–Ebene
AFB II

Eine Gerade hat den Richtungsvektor \(\vec u=(2|1|2)\), die Ebene \(E\) den Normalenvektor \(\vec n=(1|1|1)\).

a) Berechne \(\vec u\cdot\vec n\). b) Berechne den Schnittwinkel auf eine Nachkommastelle.

°
Ansatz: Bei Gerade und Ebene steht der Sinus in der Formel.
Rechenweg: \(|\vec u|=3\), \(|\vec n|=\sqrt3\), \(\sin\varphi=\tfrac{5}{3\sqrt3}\approx0{,}962\).
Lösung: a) 5 b) 74,2°
Vollständige Lösung
\(\sin\varphi=\dfrac{|5|}{3\cdot\sqrt3}\approx0{,}9623\Rightarrow\varphi\approx74{,}2^\circ\). Mit dem Kosinus käme fälschlich \(15{,}8^\circ\) heraus.
A7
Lotfußpunkt und Spiegelpunkt
AFB II

Gegeben sind \(Q(5|3|4)\) und \(E\colon 2x_1+x_2+2x_3=3\).

a) Bestimme den Parameter \(t\) der Lotgeraden \(\vec x=\vec q+t\,\vec n\) im Lotfußpunkt. b) Berechne \(d(Q,E)\).

LE
Ansatz: Lotgerade mit Richtung \(\vec n\) in \(E\) einsetzen.
Rechenweg: \(2(5+2t)+(3+t)+2(4+2t)=21+9t=3\).
Lösung: a) −2 b) 6
Vollständige Lösung
\(t=-2\), \(F(1|1|0)\). \(d=|t|\cdot|\vec n|=2\cdot3=6\) LE. Spiegelpunkt: \(Q^{\prime}=\vec q+2t\,\vec n=(-3|{-1}|{-4})\).
A8
Windschiefe Geraden
AFB II

Gegeben sind \(g\colon\vec x=(1|0|0)+r\,(1|1|0)\) und \(h\colon\vec x=(0|0|2)+s\,(1|{-1}|1)\).

a) Ein Vektor \(\vec n=(1|{-1}|n_3)\) steht senkrecht auf beiden Richtungen. Gib \(n_3\) an. b) Berechne den Abstand der Geraden auf zwei Nachkommastellen.

LE
Ansatz: Hilfsebene durch \(g\) mit Normalenvektor \(\vec n\), dann Abstand eines Punkts von \(h\).
Rechenweg: \(1-1+0=0\) ✓ und \(1+1+n_3=0\). Verbindung der Stützpunkte \((-1|0|2)\).
Lösung: a) −2 b) 2,04
Vollständige Lösung
\(\vec n=(1|{-1}|{-2})\), \(|\vec n|=\sqrt6\). \(d=\dfrac{|(-1|0|2)\cdot(1|{-1}|{-2})|}{\sqrt6}=\dfrac{|{-1}-4|}{\sqrt6}=\dfrac5{\sqrt6}\approx2{,}04\) LE.
A9
Schatten eines Mastes
AFB II

Ein Mast steht senkrecht von \((2|2|0)\) bis \(P(2|2|4)\). Sonnenlicht fällt in Richtung \(\vec v=(1|{-1}|{-2})\).

a) Gib die \(x_1\)-Koordinate des Schattenpunkts \(P^{\prime}\) von \(P\) in der \(x_1x_2\)-Ebene an. b) Berechne die Länge des Schattens auf zwei Nachkommastellen.

LE
Ansatz: Strahl \(\vec p+t\vec v\) mit \(x_3=0\) schneiden.
Rechenweg: \(4-2t=0\Rightarrow t=2\), \(P^{\prime}(4|0|0)\).
Lösung: a) 4 b) 2,83
Vollständige Lösung
\(P^{\prime}=(2+2\,|\,2-2\,|\,0)=(4|0|0)\). Schatten von \((2|2|0)\) bis \((4|0|0)\): \(|(2|{-2}|0)|=\sqrt8\approx2{,}83\) LE.
A10
Pyramide mit Abstand
AFB II

Die Punkte \(A(4|0|0)\), \(B(0|4|0)\), \(C(0|0|4)\) bilden die Grundfläche einer Pyramide mit Spitze \(O(0|0|0)\).

a) Berechne die Höhe \(h=d(O,E)\) mit \(E\colon x_1+x_2+x_3=4\) auf zwei Nachkommastellen. b) Berechne das Volumen auf zwei Nachkommastellen.

LE
VE
Ansatz: Grundfläche: gleichseitiges Dreieck, Höhe: Abstand Punkt–Ebene.
Rechenweg: \(h=\tfrac{4}{\sqrt3}\), Seite \(\sqrt{32}\), \(G=\tfrac{\sqrt3}{4}\cdot32=8\sqrt3\).
Lösung: a) 2,31 b) 10,67
Vollständige Lösung
\(h=\dfrac{|0-4|}{\sqrt3}\approx2{,}31\). \(G=8\sqrt3\approx13{,}86\). \(V=\tfrac13\cdot8\sqrt3\cdot\tfrac4{\sqrt3}=\tfrac{32}{3}\approx10{,}67\) VE — Kontrolle: Eckpyramide eines Würfels, \(\tfrac16\cdot4^3\).